初中几何题：求PD/PC的最小值与最大值
<p>反演经典题。<br>
如图，PA=2，PB=4，四边形ABCD为正方形，求PD/PC的最小值和最大值。
</p>
<p>
<svg width="285" height="360" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<!-- 绘制正方形 -->
<rect x="25" y="100" width="235" height="235" stroke="gray" fill="none" stroke-width="2"/>
<!-- 标注正方形顶点 -->
<text x="15" y="90" font-size="14" text-anchor="middle" dominant-baseline="hanging">A</text>
<text x="270" y="90" font-size="14" text-anchor="middle" dominant-baseline="hanging">B</text>
<text x="15" y="340" font-size="14" text-anchor="middle" dominant-baseline="hanging">D</text>
<text x="270" y="340" font-size="14" text-anchor="middle" dominant-baseline="hanging">C</text>
<!-- 标注点P -->
<text x="84" y="10" font-size="14" text-anchor="middle" dominant-baseline="hanging">P</text>
<!-- 绘制4条斜线 -->
<line x1="84" y1="25" x2="25" y2="100" stroke="gray" stroke-width="2"/>
<line x1="84" y1="25" x2="25" y2="335" stroke="gray" stroke-width="2"/>
<line x1="84" y1="25" x2="260" y2="100" stroke="gray" stroke-width="2"/>
<line x1="84" y1="25" x2="260" y2="335" stroke="gray" stroke-width="2"/>
</svg>
转换灵活，定位巧妙，计算简明，小题竟出妙解
</p>
既然求的是比值，那就可以做个转换，使不动点更多。
固定正方形的边长=3，保持PA/PB=1/2 , P的轨迹是一个阿氏圆(A, B, 1/2).
转换灵活
使用等高线法，PD/PC的等高线也是一个阿氏圆(D, C, h)。
极值就在等高线与阿氏圆(A, B, 1/2)相切处。
然后用解析几何方法，建立坐标系和方程，再结合拉格朗日乘子法可求出结果。 按3楼的作法，结果应该是：
如图所示：
用解析方法可求得：
\(AB=\sqrt{20-16\cos{\theta}}\)
\(AE=\frac{2-4\cos{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(BE=\frac{8-4\cos{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(PE=\frac{4\sin{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(PF=\frac{10-8\cos{\theta}+4\sin{\theta}}{\sqrt{5-4\cos{\theta}}}\)
\(PD=2\sqrt{6-4\cos{\theta}+4\sin{\theta}}\)
\(PC=2\sqrt{9-4\cos{\theta}+4\sin{\theta}}\)
当 \(\theta=135\degree\) 时，得到最大值：
\(PD/PC=\sqrt{22+12\sqrt{2}}/7\)
当 \(\theta=315\degree\) 时，得到最小值：
\(PD/PC=\sqrt{22-12\sqrt{2}}/7\) 最小是$\frac{1}{7} (3 \sqrt{2}-2)$,此时正方形的边长是$\sqrt{5-2 \sqrt{2}}$
最大是$\frac{1}{7} (3 \sqrt{2}+2)$,此时正方形的边长是$\sqrt{5+2 \sqrt{2}}$ 对于一般情况,$k= \frac{PD}{PC}$的取值 要根据$\lambda = \frac{PB^2}{PA^2}$的取值情况分段讨论. 需要分类讨论的是$\lambda=0,1,2$拆分的三个区间. 统一表达,就是
$k_{min}=\sqrt{\frac{\lambda(2 \lambda -3)-2 \sqrt{2} \sqrt{(\lambda -1)^2 \lambda }+2}{(1-2 \lambda )^2}}$, $k_{max}=\sqrt{\frac{\lambda(2 \lambda -3)+2 \sqrt{2} \sqrt{(\lambda -1)^2 \lambda }+2}{(1-2 \lambda )^2}}$
反正就是$(1-2 \lambda )^2 k^4+\left(-4 \lambda ^2+6 \lambda -4\right) k^2+(\lambda -2)^2 = 0$, 蓝色代表$k$取最小值的曲线段,红色代表$k$取最大值的曲线,再画个图
Block[{n=8},Show[{ContourPlot+\^2+(-4+6 \-4 \^2) k^2+(1-4 \+4 \^2) k^4==0,{\,0,n},{k,-n/2,n/2},Axes->True,Frame->False,ContourStyle->Dashed,PlotPoints->100],Plot[{Sqrt[(2-2 Sqrt Sqrt[(-1+\)^2 \]+\ (-3+2 \))/(1-2 \)^2],Sqrt[(2+2 Sqrt Sqrt[(-1+\)^2 \]+\ (-3+2 \))/(1-2 \)^2]},{\,0,n},PlotStyle->{Blue,Red},PlotPoints->100,PlotRegion->{{0,n},{-n,n}}]}]]
{pa,pb,pc,pd,pp}={{0,s},{s,s},{s,0},{0,0},{x,y}};
exp=Eliminate[{Total[(pp-pa)^2]==1,Total[(pp-pb)^2]==\,Total[(pp-pc)^2]==c^2,Total[(pp-pd)^2]==k^2 c^2},{c,x,y}];
Minimize[{k, k > 0 && exp}, {s, k}]
Maximize[{k, k > 0 && exp}, {s, k}]
极值对应的驻点位置的几何特征
按2#的设想，固定正方形的边长为3，保持PB/PA=2，P点在下图蓝色阿氏圆上滑动。两个极值点是这个阿氏圆与正方形外接圆的交点，其中P₁为极大值点，P₂为极小值点。
PA/PB=定值的阿氏圆与过A、B两点的圆簇都是正交的。
PD/PC=定值的阿氏圆与过C、D两点的圆簇都是正交的。
两个圆簇有一个公共圆，即正方形ABCD的外接圆，同时与两个阿氏圆正交，
所以这两个阿氏圆是相切的。
定位巧妙
所以上面的圆左偏，只有左边一半的阿氏圆才可能相切 https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=17109&pid=82830
阿氏圆可以用这边的等式。
精髓就在这两个等式：
r^2=a*b
b/a=k^2（k必须大于1，如果不是大于1，则用1/k）
这个题如果要可以解决，必须有一个焦点同时满足这两个等式 这个题如果不像2#那样转化为固定正方形，原本的思路是怎么样的，有什么好的方法？