寻求该数的最简单的表达
我有意抹掉了该题的背景 信息，
等有人给出正确答案了，我才公布问题出处，嘿嘿 $2207=((3^2-2)^2-2)^2-2$
我开始将2207误看成2007了，觉得题目出得不好，结果自己构造了一下，出来了2207 2# mathe
呵呵，2207 原来这么特殊啊 按了一下计算器，得到了$\sigma=(3+\sqrt(5))/2$
并且找到了一个数列：
http://oeis.org/A001566
$2207$是这个数列的第$3$项。 本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2012-1-29 23:02 编辑
4楼的答案可能就是标准答案了。用windows自带的计算器算\sigma=(3+\sqrt(5))/2 与题目所给的表达式只相差10^-58量级。 果然，4楼的答案就是题目的精确解。把题目计算化简后就得到(3+\sqrt(5))/2。 其实再开一次根号然后再倒数结果会更加漂亮 本帖最后由 数学星空 于 2012-1-29 01:46 编辑
可以设x=2207-1/(2207-1/(2207-(1/...)))
则x=2207-1/x
易得: x^2-2207*x+1=0
即x=(987*sqrt(5)+2207)/2=((47+21*sqrt(5))/2)^2=((7+3*sqrt(5))/2)^4=((3+sqrt(5))/2)^8
所以sigma=x^(1/8)=(3+sqrt(5))/2 本帖最后由 只是呼吸 于 2012-1-29 14:04 编辑
咦，还有(3-sqrt(5))/2也是题目的解（将8#数学星空的那个一元二次方程取负根），问题来了，那就是x=2207-1/(2207-1/(2207-1/(2207-1/(2207-(1/...)))))究竟是x=(2207+987sqrt(5))/2还是x=(2207-987sqrt(5))/2？ 本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2012-1-29 14:11 编辑
为$x$赋任意初值，然后不停地执行$x\leftarrow 2207-1/x$，结果均收敛到$(987*sqrt(5)+2207)/2$，除了一个特殊值$(2207-987*sqrt(5))/2$会收敛到它本身。
所以$(987*sqrt(5)+2207)/2$是稳定平衡点，受到轻微扰动后仍会回到原地。
而$(2207-987*sqrt(5))/2$是不稳定平衡点，受到轻微扰动后就逐渐偏离原地，而且越偏越远，最后到达$(987*sqrt(5)+2207)/2$。
所以从概率上讲，$\sigma=(3+sqrt(5))/2$的概率是$100%$，$\sigma=(3-sqrt(5))/2$的概率是$0%$。
所以我们认为$\sigma$的值是$(3+sqrt(5))/2$，不是$(3-sqrt(5))/2$。
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