寻求该数的最简单的表达

wayne · 发表于 2012-1-25 23:20:25

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我有意抹掉了该题的背景信息，
等有人给出正确答案了，我才公布问题出处，嘿嘿

mathe · 发表于 2012-1-27 11:41:55

$2207=((3^2-2)^2-2)^2-2$
我开始将2207误看成2007了，觉得题目出得不好，结果自己构造了一下，出来了2207

wayne · 发表于 2012-1-27 19:53:59

2# mathe
呵呵，2207 原来这么特殊啊

KeyTo9_Fans · 发表于 2012-1-28 12:21:33

按了一下计算器，得到了$\sigma=(3+\sqrt(5))/2$

并且找到了一个数列：

http://oeis.org/A001566

$2207$是这个数列的第$3$项。

只是呼吸 · 发表于 2012-1-28 12:55:39

本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2012-1-29 23:02 编辑

4楼的答案可能就是标准答案了。用windows自带的计算器算$\sigma=(3+\sqrt(5))/2$ 与题目所给的表达式只相差$10^-58$量级。

只是呼吸 · 发表于 2012-1-28 13:48:50

果然，4楼的答案就是题目的精确解。把题目计算化简后就得到$(3+\sqrt(5))/2$。

mathe · 发表于 2012-1-28 15:37:33

其实再开一次根号然后再倒数结果会更加漂亮

数学星空 · 发表于 2012-1-29 01:35:56

本帖最后由数学星空于 2012-1-29 01:46 编辑

可以设$x=2207-1/(2207-1/(2207-(1/...)))$
则$x=2207-1/x$
易得: $x^2-2207*x+1=0 $
即$x=(987*sqrt(5)+2207)/2=((47+21*sqrt(5))/2)^2=((7+3*sqrt(5))/2)^4=((3+sqrt(5))/2)^8$
所以$sigma=x^(1/8)=(3+sqrt(5))/2$

只是呼吸 · 发表于 2012-1-29 13:40:22

本帖最后由只是呼吸于 2012-1-29 14:04 编辑

咦，还有$(3-sqrt(5))/2$也是题目的解（将8#数学星空的那个一元二次方程取负根），问题来了，那就是$x=2207-1/(2207-1/(2207-1/(2207-1/(2207-(1/...)))))$究竟是$x=(2207+987sqrt(5))/2$还是$x=(2207-987sqrt(5))/2$？

KeyTo9_Fans · 发表于 2012-1-29 14:04:11

本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2012-1-29 14:11 编辑

为$x$赋任意初值，然后不停地执行$x\leftarrow 2207-1/x$，结果均收敛到$(987*sqrt(5)+2207)/2$，除了一个特殊值$(2207-987*sqrt(5))/2$会收敛到它本身。

所以$(987*sqrt(5)+2207)/2$是稳定平衡点，受到轻微扰动后仍会回到原地。

而$(2207-987*sqrt(5))/2$是不稳定平衡点，受到轻微扰动后就逐渐偏离原地，而且越偏越远，最后到达$(987*sqrt(5)+2207)/2$。

所以从概率上讲，$\sigma=(3+sqrt(5))/2$的概率是$100%$，$\sigma=(3-sqrt(5))/2$的概率是$0%$。

所以我们认为$\sigma$的值是$(3+sqrt(5))/2$，不是$(3-sqrt(5))/2$。

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