liangbch 发表于 2012-2-2 22:30:32

特殊角的三角函数值

本帖最后由 liangbch 于 2012-2-2 22:39 编辑

我们知道，一些特殊角的三角函数是可以用根式或者有理数表示的,如$sin(pi/6)=1/2$,$cos(pi/6)=sqrt(3)/2$. 我尝试google出更多特殊角的三角函数值，但查到的结果总是不满意，几乎所有的网页给出的总是那些众所周知的角度的值,我想要每隔6度或者每隔3度的正弦函数，但是没有找到。这里我使用一个Mathematica的在线版本来算出每隔3度的正弦函数的根式表示，供需要的人参考。
Mathematica的在线版本可通过http://www.wolframalpha.com来访问。

wayne 发表于 2012-2-2 22:52:16

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/三角函數精確值

liangbch 发表于 2012-2-2 22:55:47

本帖最后由 liangbch 于 2012-2-3 13:52 编辑

表一 每隔15度的正弦函数值

x(角度)
求解公式
Sin(x)的根式表示
15
ToRadicals]
$(sqrt(2)(sqrt(3)-1))/4$
30
ToRadicals]
$1/2$
45
ToRadicals]
$sqrt(2)/2$
60
ToRadicals]
$sqrt(3)/2$75
ToRadicals]
$(sqrt(2)(sqrt(3)+1))/4$

liangbch 发表于 2012-2-2 23:20:06

本帖最后由 liangbch 于 2012-2-2 23:21 编辑

表2 — 每隔18度的正弦
x(角度)
求解公式
Sin(x)的根式表示
18
ToRadicals]
$(sqrt(5)-1)/4$
36
ToRadicals]
$sqrt(10-2sqrt(5))/4$
54
ToRadicals]
$(sqrt(5)+1)/4$
72
ToRadicals]
$sqrt(10+2sqrt(5))/4$

liangbch 发表于 2012-2-2 23:42:06

本帖最后由 liangbch 于 2012-2-3 03:36 编辑

表3 — 每隔6度的正弦

x(角度)
求解公式
Sin(x)的根式表示
6
ToRadicals]
$(sqrt(30-6sqrt(5))-sqrt(5)-1)/8$
12
ToRadicals]
$(sqrt(10+2sqrt(5))-sqrt(3)(sqrt(5)-1))/8$
24
ToRadicals]
$(-sqrt(10-2sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)+1))/8$
42
ToRadicals]
$(sqrt(30+6sqrt(5))-sqrt(5)+1)/8$
48
ToRadicals]
$(sqrt(10+2sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)-1))/8$
66
ToRadicals]
$(sqrt(30-6sqrt(5))+sqrt(5)+1)/8$
78
ToRadicals]
$(sqrt(30+6sqrt(5))+sqrt(5)-1)/8$
84
ToRadicals]
$(sqrt(10-2sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)+1))/8$
注：18，30，36，54，60，72的三角函数值已经在楼上给出，这里不再重复.

liangbch 发表于 2012-2-3 02:42:35

本帖最后由 liangbch 于 2012-2-3 04:15 编辑

表3 — 每隔3度的正弦

X(角度)
求解公式
Sin(x)的根式表示
3
ToRadicals]
$-(sqrt(5+sqrt(5))*(sqrt(3)-1))/8+(sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)-1))/16$
9
ToRadicals]
$-sqrt(5-sqrt(5))/4+(sqrt(2)(sqrt(5)+1))/8$
21
ToRadicals]
$(sqrt(5-sqrt(5))*(sqrt(3)+1))/8-(sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)+1))/16$
27
ToRadicals]
$sqrt(5+sqrt(5))/4-( sqrt(2)(sqrt(5)-1))/8$
33
ToRadicals]
$( sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8 +(sqrt(2) (sqrt(3)+1) (sqrt(5)-1))/16$
39
ToRadicals]
$-(sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8+(sqrt(2)(sqrt(3)+1)(sqrt(5)+1))/16$
51
ToRadicals]
$(sqrt(5-sqrt(5)) (sqrt(3)+1))/8+(sqrt(2)(sqrt(3)-1)(sqrt(5)+1))/16$
57
ToRadicals]
$(sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)+1))/8-(sqrt(2)(sqrt(3)-1) (sqrt(5)-1))/16$
63
ToRadicals]
$sqrt(5+sqrt(5))/4+( sqrt(2)(sqrt(5)-1))/8$
69
ToRadicals]
$(sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8 +(sqrt(2)(sqrt(3)+1) (sqrt(5)+1))/16$
81
ToRadicals]
$sqrt(5-sqrt(5))/4+(sqrt(2)(sqrt(5)+1))/8$
87
ToRadicals]
$(sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)+1))/8 +(sqrt(2) (sqrt(3)-1) (sqrt(5)-1))/16$
注：6,12,15,18,24,30,36,42,45,48,54,60,66,72,75的三角函数值已经在楼上给出，这里不再重复.

sheng_jianguo 发表于 2012-2-3 08:01:26

楼主解决的问题很有意义，其它整数角度（比如20°）的三角函数是否有证明不能用根式或者有理数表示？

mathe 发表于 2012-2-3 08:33:24

求其它整数度数的正弦函数相当于在解一个三次方程，由于三次方程有公式，所以可以表示，但是计算中间过程会出现虚数

sheng_jianguo 发表于 2012-2-3 10:22:28

求其它整数度数的正弦函数相当于在解一个三次方程，由于三次方程有公式，所以可以表示，但是计算中间过程会出现虚数
mathe 发表于 2012-2-3 08:33 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
在实数范围计算，sin（20°）是否有证明不能从整数开始通过加、减、乘、除或开方来表示？

wayne 发表于 2012-2-3 10:30:04

楼主解决的问题很有意义，其它整数角度（比如20°）的三角函数是否有证明不能用根式或者有理数表示？
sheng_jianguo 发表于 2012-2-3 08:01 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

这个论坛有讨论。一时没搜出来。
角度形如m/n*Pi ,n 是2的幂 与 若干个 相异的费马数的乘积的形式。
所以20度不能表达出来，详细的可参考链接：
http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html
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