特殊角的三角函数值

liangbch

我们知道，一些特殊角的三角函数是可以用根式或者有理数表示的,如$sin(pi/6)=1/2$,$cos(pi/6)=sqrt(3)/2$. 我尝试google出更多特殊角的三角函数值，但查到的结果总是不满意，几乎所有的网页给出的总是那些众所周知的角度的值,我想要每隔6度或者每隔3度的正弦函数，但是没有找到。这里我使用一个Mathematica的在线版本来算出每隔3度的正弦函数的根式表示，供需要的人参考。
Mathematica的在线版本可通过http://www.wolframalpha.com来访问。

wayne

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/三角函數精確值

liangbch

表一 每隔15度的正弦

函数值

x(角度)	求解公式	Sin(x)的根式表示
15	ToRadicals[Sin[Pi/12]]	$(sqrt(2)(sqrt(3)-1))/4$
30	ToRadicals[Sin[Pi/6]]	$1/2$
45	ToRadicals[Sin[Pi/4]]	$sqrt(2)/2$
60	ToRadicals[Sin[Pi/3]]	$sqrt(3)/2$
75	ToRadicals[Sin[5(Pi/12)]]	$(sqrt(2)(sqrt(3)+1))/4$

liangbch

表2 — 每隔18度的正弦

x(角度)	求解公式	Sin(x)的根式表示
18	ToRadicals[Sin[Pi/10]]	$(sqrt(5)-1)/4$
36	ToRadicals[Sin[Pi/5]]	$sqrt(10-2sqrt(5))/4$
54	ToRadicals[Sin[3(Pi/10)]]	$(sqrt(5)+1)/4$
72	ToRadicals[Sin[2(Pi/5)]]	$sqrt(10+2sqrt(5))/4$

liangbch

表3 — 每隔6度的正弦

x(角度)	求解公式	Sin(x)的根式表示
6	ToRadicals[Sin[Pi/30]]	$(sqrt(30-6sqrt(5))-sqrt(5)-1)/8$
12	ToRadicals[Sin[Pi/15]]	$(sqrt(10+2sqrt(5))-sqrt(3)(sqrt(5)-1))/8$
24	ToRadicals[Sin[4(Pi/30)]]	$(-sqrt(10-2sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)+1))/8$
42	ToRadicals[Sin[7(Pi/30)]]	$(sqrt(30+6sqrt(5))-sqrt(5)+1)/8$
48	ToRadicals[Sin[8(Pi/30)]]	$(sqrt(10+2sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)-1))/8$
66	ToRadicals[Sin[11(Pi/30)]]	$(sqrt(30-6sqrt(5))+sqrt(5)+1)/8$
78	ToRadicals[Sin[13(Pi/30)]]	$(sqrt(30+6sqrt(5))+sqrt(5)-1)/8$
84	ToRadicals[Sin[14(Pi/30)]]	$(sqrt(10-2sqrt(5))+sqrt(3)(sqrt(5)+1))/8$

注：18，30，36，54，60，72的三角函数值已经在楼上给出，这里不再重复.

liangbch

表3 — 每隔3度的正弦

X(角度)	求解公式	Sin(x)的根式表示
3	ToRadicals[Sin[Pi/60]]	$-(sqrt(5+sqrt(5))*(sqrt(3)-1))/8+(sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)-1))/16$
9	ToRadicals[Sin[3(Pi/60)]]	$-sqrt(5-sqrt(5))/4+(sqrt(2)(sqrt(5)+1))/8$
21	ToRadicals[Sin[7(Pi/60)]]	$(sqrt(5-sqrt(5))*(sqrt(3)+1))/8-(sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)+1))/16$
27	ToRadicals[Sin[9(Pi/60)]]	$sqrt(5+sqrt(5))/4-( sqrt(2)(sqrt(5)-1))/8$
33	ToRadicals[Sin[11(Pi/60)]]	$( sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8 +(sqrt(2) (sqrt(3)+1) (sqrt(5)-1))/16$
39	ToRadicals[Sin[13(Pi/60)]]	$-(sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8+(sqrt(2)(sqrt(3)+1)(sqrt(5)+1))/16$
51	ToRadicals[Sin[17(Pi/60)]]	$(sqrt(5-sqrt(5)) (sqrt(3)+1))/8+(sqrt(2)(sqrt(3)-1)(sqrt(5)+1))/16$
57	ToRadicals[Sin[19(Pi/60)]]	$(sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)+1))/8-(sqrt(2)(sqrt(3)-1) (sqrt(5)-1))/16$
63	ToRadicals[Sin[21(Pi/60)]]	$sqrt(5+sqrt(5))/4+( sqrt(2)(sqrt(5)-1))/8$
69	ToRadicals[Sin[23(Pi/60)]]	$(sqrt(5-sqrt(5))(sqrt(3)-1))/8 +(sqrt(2)(sqrt(3)+1) (sqrt(5)+1))/16$
81	ToRadicals[Sin[27(Pi/60)]]	$sqrt(5-sqrt(5))/4+(sqrt(2)(sqrt(5)+1))/8$
87	ToRadicals[Sin[29(Pi/60)]]	$(sqrt(5+sqrt(5))(sqrt(3)+1))/8 +(sqrt(2) (sqrt(3)-1) (sqrt(5)-1))/16$

注：6,12,15,18,24,30,36,42,45,48,54,60,66,72,75的三角函数值已经在楼上给出，这里不再重复.

sheng_jianguo

楼主解决的问题很有意义，其它整数角度（比如20°）的三角函数是否有证明不能用根式或者有理数表示？

mathe

求其它整数度数的正弦函数相当于在解一个三次方程，由于三次方程有公式，所以可以表示，但是计算中间过程会出现虚数

sheng_jianguo

求其它整数度数的正弦函数相当于在解一个三次方程，由于三次方程有公式，所以可以表示，但是计算中间过程会出现虚数
mathe 发表于 2012-2-3 08:33

在实数范围计算，sin（20°）是否有证明不能从整数开始通过加、减、乘、除或开方来表示？

wayne

楼主解决的问题很有意义，其它整数角度（比如20°）的三角函数是否有证明不能用根式或者有理数表示？
sheng_jianguo 发表于 2012-2-3 08:01

这个论坛有讨论。一时没搜出来。
角度形如  m/n*Pi ,n 是2的幂 与 若干个 相异的费马数的乘积的形式。
所以20度不能表达出来，详细的可参考链接：
http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html