论坛 › 编程擂台 › 立方数最小和问题

mathe 发表于 2008-5-11 15:58:14

从现在找到的结果看，很有可能r次方问题序列最小长度为$2^{r+1}$,而且这时解是唯一的，当然这个解答非常有规律，就是前面我通过对一个r次函数做类似差分过程得出来的序列

无心人 发表于 2008-5-11 16:08:02

差分的多项式如何确定？

gxqcn 发表于 2008-5-11 16:14:12

这个问题，即便不借助计算机，也可从纯数学角度得到任意次等幂和划分的结果：
原帖由 gxqcn 于 2008-5-7 20:57 发表 http://bbs.emath.ac.cn/static/image/common/back.gif
...
我曾猜想：“连续 2^{r+1} 个整数可 r 次等幂和划分；且划分形式是唯一的”。
存在性容易证明，唯一性未证明。
...

具体如何构造？可从下列式子中得到规律：
{1,4} \larr 1\rarr {2,3}
{1,4,6,7} \larr 2\rarr {2,3,5,8}
{1,4,6,7,10,11,13,16} \larr 3\rarr {2,3,5,8,9,12,14,15}
...
定理：若 {a_i}_n \larr r\rarr {b_i}_n，则 {{a_i+\lambda}_n, {{b_i+\mu}_n}} \larr r+1\rarr {{b_i+\lambda}_n, {a_i+\mu}_n}}\quad(\lambda, \mu in RR)

上述定理，可将等幂和次数递增一次。
但阶数也基本翻了一倍（有时，我们刻意选择特殊的 (\lambda, \mu) 组合，使新式子两边产生一些相同的数据，剔除它反而可以降阶）。

但对于非 2 的整数次幂的情形，现在的理论研究还不够，
从现已发现的 N=12、40、48 的等幂和划分来看，这里面还蕴涵有大量未开采的宝藏（可有助于提高可等幂和划分的次数）。

无心人 发表于 2008-5-11 16:28:51

那如果考虑可能降阶
是否能确定$\lambda, \mu$的上限

无心人 发表于 2008-5-11 17:22:26

:)

对上面结论
能否给出一个常规的公式
我这里对序列的计算有非常方便的工具
我测试下7次方的情况
假设左面序列是left
sum (map (^7) left)

无心人 发表于 2008-5-11 19:19:18

:lol
鼓捣明白了那个通用解了
问下
这连续数字按GxQ最后提出的递归序列如果选择的两个递归参数
得到的序列是否必须连续？
我用0 2^k得到的是标准序列

无心人 发表于 2008-5-11 19:50:59

GxQ：
对你得到的非2次幂长度等幂和划分
能不能得出你说的递推公式
然后给我
我帮你验证
大次幂不好说
到13次幂还是没问题的

gxqcn 发表于 2008-5-11 20:06:04

回复 97# 的帖子

非 2 的整数次幂的等幂和划分还没有完全研究好，见 93#
这里主要是指那些：无法通过递推公式获得的高次等幂和划分情形。

至于验证，相对来说是容易的，
我自己也开发了不少数学工具软件，任意次都不成问题。

无心人 发表于 2008-5-11 20:09:14

To mathe:
41#我今天验证了， 似乎只有一个绝对值是0

无心人 发表于 2008-5-11 20:11:58

:)

这个问题能和华林问题接上头么？

查看完整版本: 立方数最小和问题