论坛 › 趣题妙解 › 数列的通项公式

northwolves 发表于 2025-11-4 20:41:09

northwolves 发表于 2025-11-4 17:11
$y^2=768 n^4 + 48 n^2 x + x^2 $ 的通解应该是有的吧？

问题已解决。
$y^2=768 n^4 + 48 n^2 x + x^2 $ 方程的正解通解形式为：
$x=s-\frac{48 n^4}{s}-24 n^2;y=\frac{48 n^4}{s}+s;$

f:=(d=Select,#>(12+8 Sqrt )n^2&];sol=Table[{s-(48 n^4)/s-24 n^2, ((48 n^4)/s+s)},{s,d}];{n,Length@sol,sol});f

{17,20,{{2482,10234},{6647,14161},{7531,15011},{12512,19856},{22406,29614},{32266,39406},{51952,59024},{71621,78659},{76537,83569},{110942,117946},{160082,167066},{228871,235841},{243611,250579},{327136,334096},{494182,501134},{661226,668174},{995312,1002256},{1329397,1336339},{1997566,2004506},{4002071,4009009}}}

northwolves 发表于 2025-11-4 20:44:02

northwolves 发表于 2025-11-4 20:41
问题已解决。
$y^2=768 n^4 + 48 n^2 x + x^2 $ 方程的正解通解形式为：
$x=s-\frac{48 n^4}{s}-24 n^2;y ...

题目链接在这里：
探讨y^2=（×+48k^2）^3-x^3这组方程的正解和K的解和根的结构模式

wayne 发表于 2025-11-5 10:42:30

northwolves 发表于 2025-11-4 16:51
$x$ 取这个数列，$768 n^4 + 48 n^2 x + x^2 $ 是一个平方数。


要$768 n^4 + 48 n^2 a + a^2 $ 是一个平方数$y^2$。可以双有理变换成椭圆曲线$90112 a^3-3840 a^2 X+X^3+Y^2=0$。
$\{n,y\}=\{-\frac{2 a Y}{2816 a^2-32 a X-X^2},\frac{-3584 a^3+128 a^2 X-2 a X^2}{2 (2816 a^2-32 a X-X^2)}\}$
Solve, {X, Y}]
也就是
\
所以最终就是要$4 a^2 y^2-a^4=3t^2$有有理数解。解得$=[\frac{2 \left(U^2-3\right) y}{U^2+3},\frac{8 U \left(U^2-3\right) y^2}{\left(U^2+3\right)^2}]$
Factor@SolveValues,{a,t}]

最终得到$768 n^4 + 48 n^2 a + a^2=y^2 $的有理参数解是${a,y}={\frac{32 n^2 \left(3-U^2\right)}{(U-3) (U+1)},\frac{16 n^2 \left(3+U^2\right)}{(U-3) (U+1)}}$.其中U是有理数

nyy 发表于 6 天前

Mathematica 中求数列递推公式的核心函数是 FindSequenceFunction，输入数列元素列表即可自动识别递推关系（支持线性/非线性、常系数/变系数递推）。

- 基础用法： FindSequenceFunction[{a1, a2, a3, ...}] ，直接返回数列的通项或递推表达式。
- 指定递推阶数： FindSequenceFunction[{a1, a2, ..., an}, n, Method -> "Recurrence"] ，强制输出递推公式。

示例： FindSequenceFunction[{1, 3, 6, 10, 15}]  会返回  n(n+1)/2 （通项），若需递推形式可结合  RecurrenceTable  验证。

需要我帮你用具体数列（比如斐波那契、等差/等比数列）演示完整操作步骤吗？

用这个函数难不难？？？

查看完整版本: 数列的通项公式