数列的通项公式

northwolves

northwolves 发表于 2025-11-4 17:11
$y^2=768 n^4 + 48 n^2 x + x^2 $ 的通解应该是有的吧？

问题已解决。
$y^2=768 n^4 + 48 n^2 x + x^2 $ 方程的正解通解形式为：
$x=s-\frac{48 n^4}{s}-24 n^2;y=\frac{48 n^4}{s}+s;$

1. f[n_]:=(d=Select[Divisors[48n^4],#>(12+8 Sqrt[3] )n^2&];sol=Table[{s-(48 n^4)/s-24 n^2, ((48 n^4)/s+s)},{s,d}];{n,Length@sol,sol});f[17]

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{17,20,{{2482,10234},{6647,14161},{7531,15011},{12512,19856},{22406,29614},{32266,39406},{51952,59024},{71621,78659},{76537,83569},{110942,117946},{160082,167066},{228871,235841},{243611,250579},{327136,334096},{494182,501134},{661226,668174},{995312,1002256},{1329397,1336339},{1997566,2004506},{4002071,4009009}}}

northwolves

northwolves 发表于 2025-11-4 20:41
问题已解决。
$y^2=768 n^4 + 48 n^2 x + x^2 $ 方程的正解通解形式为：
$x=s-\frac{48 n^4}{s}-24 n^2;y ...

题目链接在这里：
探讨y^2=（×+48k^2）^3-x^3这组方程的正解和K的解和根的结构模式

wayne

northwolves 发表于 2025-11-4 16:51
$x$ 取这个数列，$768 n^4 + 48 n^2 x + x^2 $ 是一个平方数。

要$768 n^4 + 48 n^2 a + a^2 $ 是一个平方数$y^2$。可以双有理变换成椭圆曲线$90112 a^3-3840 a^2 X+X^3+Y^2=0$。
$\{n,y\}=\{-\frac{2 a Y}{2816 a^2-32 a X-X^2},\frac{-3584 a^3+128 a^2 X-2 a X^2}{2 (2816 a^2-32 a X-X^2)}\}$

1. Solve[Thread[{n,   y} == {-((2 a Y)/(2816 a^2 - 32 a X - X^2)), (-3584 a^3 + 128 a^2 X - 2 a X^2)/(2 (2816 a^2 - 32 a X - X^2))}], {X, Y}]

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也就是
\[X\to \frac{16 \left(a (2 a+y)\pm\sqrt{3} \sqrt{4 a^2 y^2-a^4}\right)}{a-y},Y\to -\frac{768 a n \left(a^2\pm\sqrt{3} \sqrt{4 a^2 y^2-a^4}-4 a y\right)}{(a-y)^2}\]
所以最终就是要$4 a^2 y^2-a^4=3t^2$有有理数解。解得$[a,t]=[\frac{2 \left(U^2-3\right) y}{U^2+3},\frac{8 U \left(U^2-3\right) y^2}{\left(U^2+3\right)^2}]$

1. Factor@SolveValues[Thread[{a^2/t,(2a y)/t}=={(U^2-3)/(2*U),(U^2+3)/(2*U)}],{a,t}]

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最终得到$768 n^4 + 48 n^2 a + a^2=y^2 $的有理参数解是${a,y}={\frac{32 n^2 \left(3-U^2\right)}{(U-3) (U+1)},\frac{16 n^2 \left(3+U^2\right)}{(U-3) (U+1)}}$.其中U是有理数