数列的通项公式

northwolves

$y(1)=2,y(n)=\frac{\left(10 n^2-19 n-2\right) y(n-1)+1728 n^2-5024 n+3504}{10 n^2-59 n+94}$

前30项：
{2, 23, 671, 3671, 11903, 29399, 61343, 114071, 195071, 312983, 477599, 699863, 991871, 1366871, 1839263, 2424599, 3139583, 4002071, 5031071, 6246743, 7670399, 9324503, 11232671, 13419671, 15911423, 18734999, 21918623, 25491671, 29484671, 33929303}

nyy

这么复杂，还是算了吧

王守恩

RecurrenceTable[{y[1] == 2, (45 - 39 n + 10 n^2) y[1 + n] == 208 - 1568 n + 1728 n^2 - (11 - n - 10 n^2) y[n]}, y, {n, 40}]——质数是不可以有公式的。

{2, 23, 671, 3671, 11903, 29399, 61343, 114071, 195071, 312983, 477599, 699863, 991871, 1366871, 1839263, 2424599, 3139583, 4002071, 5031071, 6246743, 7670399, 9324503, 11232671,
13419671, 15911423, 18734999, 21918623, 25491671, 29484671, 33929303, 38858399, 44305943, 50307071, 56898071, 64116383, 72000599, 80590463, 89926871, 100051871, 111008663}

mathe

通项不重要吧，不过这个数列为什么看上去都是整数？有什么背景吗？

northwolves

mathe 发表于 2025-11-4 16:21
通项不重要吧，不过这个数列为什么看上去都是整数？有什么背景吗？

$x$ 取这个数列，$768 n^4 + 48 n^2 x + x^2 $ 是一个平方数。

1. Table[{n, Values@FindInstance[y^2 == 768 n^4 + 48 n^2 x + x^2, {x, y},  PositiveIntegers]}, {n, 0,30}]

复制代码

{{0, {{2, 2}}},{1,{{23,49}}},{2,{{671,769}}},{3,{{3671,3889}}},{4,{{11903,12289}}},{5,{{29399,30001}}},{6,{{61343,62209}}},{7,{{114071,115249}}},{8,{{195071,196609}}},{9,{{312983,314929}}},{10,{{477599,480001}}},{11,{{699863,702769}}},{12,{{991871,995329}}},{13,{{1366871,1370929}}},{14,{{1839263,1843969}}},{15,{{2424599,2430001}}},{16,{{3139583,3145729}}},{17,{{4002071,4009009}}},{18,{{5031071,5038849}}},{19,{{6246743,6255409}}},{20,{{7670399,7680001}}},{21,{{9324503,9335089}}},{22,{{11232671,11244289}}},{23,{{13419671,13432369}}},{24,{{15911423,15925249}}},{25,{{18734999,18750001}}},{26,{{21918623,21934849}}},{27,{{25491671,25509169}}},{28,{{29484671,29503489}}},{29,{{33929303,33949489}}},{30,{{38858399,38880001}}}}

northwolves

5楼的数据并不是最小的x:

1. Table[{n, Values@Solve[y^2 == 768 n^4 + 48 n^2 x + x^2 && x < 5000, {x, y}, PositiveIntegers][[1]]}, {n, 0, 20}]

复制代码

{{0,{1,1}},{1,{23,49}},{2,{26,134}},{3,{11,259}},{4,{104,536}},{5,{110,790}},{6,{44,1036}},{7,{112,1456}},{8,{416,2144}},{9,{99,2331}},{10,{440,3160}},{11,{913,4169}},{12,{176,4144}},{13,{26,4706}},{14,{329,5719}},{15,{195,6405}},{16,{1664,8576}},{17,{2482,10234}},{18,{396,9324}},{19,{4598,14174}},{20,{1760,12640}}}

wayne

1. ans = {2, 23, 671, 3671, 11903, 29399, 61343, 114071, 195071, 312983,
   
2.    477599, 699863, 991871, 1366871, 1839263, 2424599, 3139583,
   
3.    4002071, 5031071, 6246743, 7670399, 9324503, 11232671, 13419671,
   
4.    15911423, 18734999, 21918623, 25491671, 29484671, 33929303};
   
5. expr = FindGeneratingFunction[ans, x];
   
6. {expr, SeriesCoefficient[expr, {x, 0, n}]}

复制代码

先得到生成函数$g(x)=\frac{3 x^5-38 x^4-526 x^3-576 x^2-13 x-2}{(x-1)^5}$，然后得到通项公式的新表达
\[a(n)=\begin{array}{cc}
\{ &
\begin{array}{cc}
48 (n-1)^4-24 (n-1)^2-1 & n>1 \\
2 & n=1 \\
\end{array}
\\
\end{array}\]

northwolves

$x_n=48*n^4 - 192*n^3 + 264*n^2 - 144*n + 23,   y_n=48 n^4+1 (n>1)$

northwolves

$y^2=768 n^4 + 48 n^2 x + x^2 $ 的通解应该是有的吧？

northwolves

Constant differences
The differences of order 4 in the difference table of depth 1 appear to become constant.
The next few terms would be 9335089, 11244289, 13432369, 15925249.

2    49   769  3889  12289  30001  62209  115249  196609  314929  480001  702769  995329  1370929  1843969  2430001  3145729  4009009  5038849  6255409  7680001  9335089  11244289  13432369
  47   720  3120  8400  17712  32208  53040   81360  118320  165072  222768  292560  375600   473040   586032   715728   863280  1029840  1216560  1424592  1655088  1909200   2188080
673  2400  5280  9312  14496  20832  28320   36960   46752   57696   69792   83040   97440   112992   129696   147552   166560   186720   208032   230496   254112   278880
1727  2880  4032  5184   6336   7488   8640    9792   10944   12096   13248   14400   15552    16704    17856    19008    20160    21312    22464    23616    24768
1153  1152  1152  1152   1152   1152   1152    1152    1152    1152    1152    1152    1152     1152     1152     1152     1152     1152     1152     1152