找数：`n = a^r + b^r = c^r + d^r`
最小的能用两种不同方法表示为两个二次方和的自然数？\( 65=1^2+8^2=7^2+4^2 \)
最小的能用两种不同方法表示为两个三次方和的自然数？(的士数)
\( 1729=1^3+12^3=9^3+10^3 \)
最小的能用两种不同方法表示为两个四次方和的自然数？ 最小的能用两种不同方法表示为两个四次方和的自然数？
应该是： \( 635\,318\,657=59^4+158^4=133^4+134^4 \)
下一个为： \( 3\,262\,811\,042=7^4+239^4=157^4+227^4 \)
我是通过 Excel 算 256 内的自然数获得的。 下面的 \( 4 \) 阶半幻方（各行各列和为定值，对角线和不为定值）全部由四次方数构成，
\[ \begin{array}{|r|r|r|r|}
\hline 14\,101^4 & 938^4 & 931^4 & 37\,762^4 \\
\hline 35\,866^4 & 20\,881^4 & 21\,038^4 & 13\,393^4 \\
\hline 24\,806^4 & 30\,191^4 & 30\,418^4 & 9\,263^4 \\
\hline 413^4 & 32\,026^4 & 31\,787^4 & 1\,106^4 \\
\hline \end{array} \]
其幻和 \( S=2\,072\,924\,729\,248\,210\,594 \) 为当前已知的最小。 对a^5+b^5中a, b <=3000以内的组合未发现能表示成两种方式5次方的和的例子 能用两种不同方法表示为两个五次方和的自然数——在 \( 2.43 * 10^{37} \) 内不存在！
事实上， \( a^r + b^r = c^r + d^r, \text{for any }r>4 \) 迄今还未找到一例！ gxqcn 发表于 2014-2-9 22:48
能用两种不同方法表示为两个五次方和的自然数——在 \( 2.43 * 10^{37} \) 内不存在！
事实上， \( a^r +...
还没见过这种问题的文章。不过有类似的结论：
费马在给梅森的信中还说，形如4n+1的素数和它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的三次方和四次方都能以两种方式表达为两个平方数之和；它的五次方和六次方都能以三种方式表达为两个平方数之和；如此等等，乃至无穷．
他在信中接着说：若等于两个平方数之和的一个素数乘以另一个也是这样的素数，则其乘积将能以两种方式表达为两个平方数之和．若第一个素数乘以第二个素数的平方，则乘积将能以三种方式表达为两个平方数之和；若乘以第二个素数的立方，则乘积将能以四种方式表达为两个平方数之和；如此等等，乃至无穷。
他还指出，一个奇素数能且只能以一种方式表为两个平方数之差. 建议管理员改下帖子的标题,找数这个标题让人看了完全不知道是啥意思 http://www.durangobill.com/Ramanujan.html 还有,如何弄excel弄呢? 对于四次幂，大家能不能提供更多的资料？