对称变换8种，分别是恒等，坐转，右转，中心对称，左右对称，上下对称，主对角线对称，副对角线对称。根据群论，计算每个变换的不变元数目累加除八即可。
这些变换不变元都相当于在原线性方程上添加很多线性约束，在求出新方程解的数目即可，也就是求矩阵的秩
A075464的第61项计算出来了，计算机算了40多小时，结果是1629
我们记\(m\)阶矩阵\(C\)满足\(C_{ij}=\begin{cases}1,&\text{if }\abs{i-j}\leq1\\0,&\text{or therwise}\end{cases}\)
\(n*m\)矩阵上关灯问题的求解问题通常可以写为线性方程，对应矩阵为\(\begin{bmatrix}C&I&O&\cdots&O\\I&C&I&\cdots&O\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\O&O&O&\cdots&C\end{bmatrix}\)。
这是一个分块三对角阵，对角线全是\(C\)，紧挨对角线都是单位阵\(I\)，其余都是\(O\)。
然后我们可以进行行变换，第二行减去第一行的\(C\)倍，然后第三行减去第二行的\(C\)倍和第一行，……，第\(k\)行减去\(k-1\)行的C倍和第\(k-2\)行。消元后除第一列和一条斜线全\(O\)。而第一列中，记函数\(f_0(x)=1,f_1(x)=x,f_k(x)=xf_{k-1}(x)+f_{k-2}(x)\)第一列为\(f_1(C),f_2(C),\dots,f_m(C)\)于是整个矩阵的秩只由\(f_m(C)\)的秩确定
同样根据最后一行可以对一般情况快捷判断方程是否有解，而对于最后一行每个解，解出最后一行后分别代回原方程各行就可以很放便的解出所有未知数
然后矩阵的秩可以确定解空间的维数，由于在二阶域，维数\(k\),解的数目就是\(2^k\)
还有一个比较有用的性质是多解的情况下，确定任意一条边界的情况，整个解就唯一确定了。而对于开始所以灯开着，准备全部关闭的方案，如果某个方案的一条边界上是对称的，那么整个方案必然也是关于同一对称轴对称。由此，要计算关于某旋转或对称情况不变的关灯方案，只要确保边界上满足即可。所以最多另外添加4n个线性约束即可，然后求秩和判断是否有解即可。
A075463的计算结果，基本上就是同样代码稍微修改一下，利用前面的思想:
1 1
2 1
3 1
4 5
5 1
6 1
7 1
8 1
9 43
10 1
11 10
12 1
13 1
14 5
15 1
16 43
17 1
18 1
19 8356
20 1
21 1
22 1
23 2080
24 5
25 1
26 1
27 1
28 1
29 136
30 131720
31 1
32 131720
33 8356
34 5
35 10
36 1
37 1
38 1
39 536911936
40 1
41 1
42 1
43 1
44 5
45 1
46 1
47 134225920
48 1
49 43
50 43
51 1
52 1
53 1
54 5
55 1
56 1
57 1
58 1
59 524800
60 1
61 137439609088
62 2099728
63 1
64 33564704
65 549756338176
66 1
67 536911936
68 1
69 43
70 1
71 2080
72 1
73 1
74 5
75 1
76 1
77 1
78 1
79 2305843011898064896
80 1
81 1
82 1
83 10
84 554
85 1
86 1
87 1
88 1
89 136
90 1
91 1
92 131720
93 1
94 5
95 576460752840294400
96 1
97 1
98 131720
99 8356
100 1
101 32896
102 1
103 1
104 5
105 1
106 1
107 10
108 1
109 43
110 1
111 1
112 1
113 1
114 5
115 1
116 1
117 1
118 43
119 8796095119360
120 1
121 1
122 1
123 151115727452515841867776
124 5
125 140737496743936
126 9007199422517248
127 1
128 9007199422517248
129 9007199422517248
130 1
131 9671406556919232420904960
132 1
133 1
134 5
135 2305843011898064896
136 1
137 1
138 1
139 8356
140 1
141 1
142 1
143 134225920
144 5
145 1
146 1
147 1
148 1
149 136
150 1
151 1
152 43
153 1
154 2099728
155 10
156 1
157 1
158 1
159 42535295865117307944451040976113238016
160 1
161 1
162 1
163 1
164 2099728
165 1
166 1
167 2080
168 1
169 2099728
170 8590098560
171 1
172 1
173 1
174 5
175 1
176 1
177 1
178 1
179 524800
180 1
181 1
182 1
183 1
184 5
185 549756338176
186 43
187 1
188 2099728
189 43
190 1
191 10633823966279326985536299491456450560
192 1
193 1
194 33564704
195 1
196 1
197 549756338176
198 1
199 536911936
200 1
201 1
202 1
203 34359869440
204 2099728
205 1
206 1
207 1
208 1
209 136
210 1
211 1
212 1
213 1
214 5
215 2080
216 131720
217 1
218 1
219 8356
220 43
221 1
222 1
223 1
224 5
225 1
226 1
227 10
228 1
229 43
230 131720
231 1
232 1
233 1
234 5
235 1
236 1
237 8356
238 1
239 2475880078570795734170337280
240 1
241 1
242 1
243 1
244 5
245 1
246 1
247 182687704666362864775461359668172636875103666176
248 1
249 43
250 1
251 633825300114115263698305024000
252 1
253 649037107316853498602308381966336
254 174224571863520493293985668768022296264704
255 1
256 2787593149816327892694916263132855896375296
257 2596148429267413850294045183574016
258 1
259 649037107316853498602308381966336
260 1
261 1
262 1
263 2993155353253689176481146576088573851923483438612480
264 5
265 1
266 1
267 1
268 1
269 136
270 1
271 42535295865117307944451040976113238016
272 1
273 1
274 5
275 10
276 1
277 1
278 131720
279 536911936
280 1
281 1
282 1
283 1
284 5
285 1
286 1
287 576460752840294400
288 43
289 43
290 1
291 1
292 1
293 1
294 5
295 1
296 131720
297 1
298 1
299 524800
300 1
301 1
302 1
303 1
304 5
305 32896
306 1
307 1
308 1
309 35184382575616
310 1
311 2080
312 1
313 1
314 33564704
315 1
316 1
317 1
318 1
319 144740111546645244279463731260859884818714245625306570446014188166524237256
320 1
321 1
322 43
323 10
324 33564704
325 1
326 1
327 1
328 1
329 140737496743936
330 1
331 1
332 1
333 1
334 5
335 134225920
336 1
337 1
338 1
339 35184382575616
340 137439609088
341 2361183241469182345216
342 1
343 1
344 5
345 1
346 1
347 10
348 1
349 43
350 1
351 1
352 1
353 1
354 5
355 1
356 43
357 1
358 1
359 8796095119360
360 1
361 1
362 131720
363 1
364 5
365 1
366 1
367 1
368 1
369 43
370 1
371 9671406556919232420904960
372 1
373 8356
374 5
375 1
376 1
377 140737496743936
378 1
379 8356
380 9007199422517248
381 1
382 1
383 36185027886661311069865932815214971204572223166663849341659713261762563276
384 5
385 1
386 9007199422517248
387 1
388 1
389 36028797153181696
390 43
391 1
392 1
393 1
394 5
395 9671406556919232420904960
396 1
397 1
398 1
399 2305843011898064896
400 1
401 1
402 131720
403 1
404 5
405 1
406 1
407 37778931863094600663040
408 1
409 35184382575616
410 1
411 1
412 1
413 1
414 5
415 1
416 1
417 1
418 1
419 524800
420 1
421 1
422 1
423 1
424 554
425 1
426 1
427 1
428 131720
429 43
430 1
431 134225920
432 1
433 137439609088
434 5
435 1
436 1
437 1
438 1
439 536911936
440 2099728
441 8356
442 1
443 10
444 5
445 1
446 1
447 1
448 1
449 136
450 1
451 1
452 1
453 1
454 9444732965911089250304
455 2080
456 1
457 1
458 43
459 8356
460 1
461 549756338176
462 1
463 1
464 2099728
465 1
466 1
467 10
468 1
469 43
470 1
471 1
472 1
473 1
474 5
475 536911936
476 1
477 1
478 1
479 196159429230833773869868419485143095817481649838694072320
480 1
481 1
482 1
483 1
484 5
485 1
486 1
487 1
488 1
489 43
490 1
491 10
492 43
493 1
494 2099728
495 2669983794901137602993777132711940143253380652954950347667120153016547690459200543812512382976
496 1
497 1
498 1
499 8356
500 1
501 1
502 1
503 12855504354071922204335696738731836121378080409065336088821760
504 5
505 1
506 1
507 3369993333393829974333376885877457079390179637084857406096666525696
508 1
509 9713344461128645354597309534117594533212041164243572147078793778606481628601310976
510 90462569716653277674664832038037428015684087503171354147672050048224880230
511 1
512 90462569716653277674664832038037428015684087503171354147672050048224880230
513 621654045512233302694227810183526050125570327876342137616974605726494491520024482816
514 5
515 215679573337205118357336120696157055773690872449979836909821540433920
516 1
517 1
518 1
519 3369993333393829974333376885877457079390179637084857406096666525696
520 1
521 1
522 1
523 1
524 5
525 1
526 33564704
527 2866873269987589389513526119127608675995706236460351524398200179381220654346750620542816160165102878720
528 1
529 43
530 1
531 1
532 1
533 1
534 5
535 1
536 1
537 1
538 1
539 524800
540 1
541 1
542 1
543 144740111546645244279463731260859884818714245625306570446014188166524237256
544 5
545 1
546 1
547 1
548 1
549 43
550 1
551 2080
552 1
553 1
554 5
555 1
556 1
557 549756338176
558 1
559 2305843011898064896
560 33564704
561 1
562 1
563 10
564 5
565 1
566 2099728
567 1
568 1
569 136
570 1
571 1
572 1
573 1
574 5
575 10633823966279326985536299491456450560
576 1
577 8356
578 1
579 8356
580 1
581 1
582 1
583 1
584 2658455991569831748689917882614677504
585 1
586 1
587 10
588 131720
589 43
590 1
591 1
592 1
593 549756338176
594 554
595 1
596 1
597 1
598 1
599 8796095119360
600 1
601 1
602 1
603 1
604 5
605 1
606 1
607 1
608 1
609 43
610 1
611 34359869440
612 1
613 1
614 2099728
615 1
616 1
617 1
618 1
619 9903520314283218121057632256
620 1
621 1
622 1
623 134225920
624 5
625 1
626 131720
627 1
628 43
629 36028797153181696
630 1
631 1
632 1
633 1
634 144115188746952704
635 10
636 1
637 1
638 1
639 16759759912428246374467531247757307659349207275740491722154451804652205037265742156007609893002660326884412215719135167726990938633848076961009773838336
640 1
641 1
642 1
643 1
644 144115188746952704
645 8356
646 1
647 2080
648 1
649 9007199422517248
650 131720
651 1
652 1
653 1
654 5
655 1
656 1
657 1
658 1
659 633825300114115263698305024000
660 1
661 1
662 43
663 1
664 5
665 1
666 1
667 1
668 1
669 43
670 1
671 576460752840294400
672 1
673 1
674 5
675 1
676 1
677 1
678 1
679 9903520314283218121057632256
680 1
681 151115727452515841867776
682 680564733841876926972866075049957785600
683 178405961588244985132295190914152631338270720
684 5
685 1
686 1
687 1
688 1
689 136
690 1
691 1
692 2199025877504
693 1
694 5
695 2080
696 43
697 1
698 1
699 8356
700 1
701 1
702 1
703 1
704 5
705 1
706 1
707 10
708 1
709 43
710 1
711 1
712 131720
713 32896
714 33564704
715 1
716 1
717 1
718 1
719 2475880078570795734170337280
720 1
721 1
722 1
723 1
724 5
725 549756338176
726 1
727 1
728 1
729 43
730 43
731 10
732 1
733 1
734 5
735 1
736 1
737 1
738 1
739 8356
740 1
741 1
742 1
743 2993155353253689176481146576088573851923483438612480
744 5
745 1
746 1
747 536911936
748 1
749 136
750 1
751 1
752 1
753 1
754 5
755 633825300114115263698305024000
756 1
757 1
758 131720
759 536911936
760 1
761 2596148429267413850294045183574016
762 1
763 1
764 174224571863520493293985668768022296264704
765 1
766 1
767 4189939978107061593616882811939326914837301818935122930538612951163051259312817036213236342143678488439581556809347837263013908378262508827040672645120
768 1
769 43
770 2787593149816327892694916263132855896375296
771 1
772 1
773 2596148429267413850294045183574016
774 2099728
775 1
776 1
777 1
778 1
779 41538374868278621172359158709616640
780 1
781 8356
782 1
783 1
784 5
785 1
786 1
787 1
788 1
789 43
790 1
791 2993155353253689176481146576088573851923483438612480
792 1
793 1
794 5
795 1
796 1
797 1
798 43
799 42535295865117307944451040976113238016
800 1
801 1
802 1
803 10
804 5
805 137439609088
806 1
807 1
808 1
809 136
810 1
811 1
812 1
813 1
814 5
815 45671926166590716193865302138111296192894730240
816 1
817 1
818 9903520314283218121057632256
819 9903520314283218121057632256
820 1
821 1
822 1
823 1
824 2099728
825 1
826 1
827 10
828 1
829 43
830 1
831 1
832 43
833 1
834 5
835 1
836 131720
837 1
838 1
839 8796095119360
840 1
841 1
842 1
843 1
844 33564704
845 1
846 1
847 1
848 1
849 2099728
850 1
851 10
852 1
853 1
854 137439609088
855 1
856 1
857 549756338176
858 1
859 8356
860 1
861 1
862 1
863 576460752840294400
864 5
865 1
866 43
867 151115727452515841867776
868 1
869 136
870 1
871 1
872 1
873 1
874 5
875 10
876 1
877 1
878 1
879 2305843011898064896
880 1
881 140737496743936
882 1
883 536911936
884 5
885 1
886 1
887 2080
888 9007199422517248
889 43
890 131720
891 1
892 1
893 1
894 5
895 1
896 1
897 1
898 131720
899 524800
900 43
901 1
902 9007199422517248
903 1
904 5
905 1
906 1
907 1
908 1
909 713623846352979940529190208389576333362987008
910 1
911 134225920
912 1
913 1
914 5
915 1
916 1
917 32896
918 1
919 536911936
920 1
921 1
922 1
923 9671406556919232420904960
924 5
925 1
926 1
927 1
928 1
929 140737496743936
930 1
931 1
932 1
933 1
934 554
935 2080
936 1
937 1
938 1
939 8356
940 1
941 1
942 1
943 1
944 33564704
945 1
946 1
947 10
948 1
949 43
950 1
951 2305843011898064896
952 1
953 1
954 5
955 1
956 131720
957 1
958 1
959 12313126936373274753837200031294879314087418522020452083741688065996021404767305284596778767166408205765129011200
960 131720
961 1
962 1
963 1
964 5
965 1
966 1
967 1
968 43
969 43
970 1
971 10
972 1
973 1
974 33564704
975 1
976 1
977 1
978 1
979 8356
980 1
981 1
982 1
983 2080
984 5
985 8356
986 1
987 1
988 1
989 140737496743936
990 1
991 57030507720277440233014645071253641561165356340606999132239906473740939590846733132391014146727599642277392655007978024024440602435564401080559383219030262117772544854198174878539318296576
992 1
993 1
994 5
995 10
996 1
997 1
998 1
999 536911936
1000 1