一个广义定积分的求值证明
本帖最后由 zuijianqiugen 于 2014-6-2 06:17 编辑（一）一个广义定积分的值：
A=∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx=0（若用原函数求之，为不定型）
（二）普西函数的狄利克莱公式：
ψ(z)=∫(0,∞)-1e-x-x-1(1+x)-z]dx（ReZ＞0）
令z=1得
欧拉常数γ=-ψ(1)=(-1)∫(0,∞)-1e-x-x-1(1+x)-1]dx
=∫(0,∞)[(2x)-1-x-1e-x]dx+∫(0,∞)-1(1+x)-1-(2x)-1]dx
=γ+∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx
所以 A=∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx=0 得证
（三）欧拉常数γ=∫(0,∞)[(2x)-1-x-1e-x]dx的证明：（Γ函数证法）
（1）(ε→+0)[Γ(ε)-1/ε]=-γ、 (ε→+0)[Γ(-ε)+1/ε]=-γ
（2）(ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=-2γ
（3）(ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=(ε→+0)[∫(0,∞)xε-1e-xdx+∫(0,∞)x-ε-1(e-x-1)dx]
=∫(0,∞)(2x-1e-x-x-1)dx
=-2γ
（4）γ=∫(0,∞)[(2x)-1-x-1e-x]dx
注：①还有“黎曼ζ函数证法”，参见http://zuijianqiugen.blog.163.com/blog/static/1265240622013921109818/
②用此法求之，相当于不定型的洛比塔法则。
③特悬赏十个金币，欢迎挑毛病。对脑子有毛病的人除外。 用此法求之，相当于不定型的洛比塔法则。 （三）哪里不对 ？望指正出来，我虚心接受，再进行修正。 （三）（3）哪里不对 ？望指正出来，我虚心接受，再进行修正。 你再核查一下，应该输写错误吧 no.结论不正确。而且你还没改过来 特悬赏十个金币，欢迎挑毛病。对脑子有毛病的人除外。 (ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=(ε→+0)[∫(0,∞)xε-1e-xdx+∫(0,∞)x-ε-1(e-x-1)dx]
这个从哪弄来的:
\[\Gamma(-z)=\int_0^{\infty } \left(e^{-x}-1\right) x^{-z-1} \, dx\] 额, 上面的积分式子好像是成立的，我昨晚在平板上看，没见过这式子，以为你敲错了.
关键有问题的地方应该是1/ε 在ε -> 0处极限不存在。你这样直接“偷偷的抹掉”是不行的吧
得按+0和-0分别讨论 本帖最后由 zuijianqiugen 于 2014-6-2 09:32 编辑
wayne 发表于 2014-6-2 07:51
这个从哪弄来的:
\[\Gamma(-z)=\int_0^{\infty } \left(e^{-x}-1\right) x^{-z-1} \, dx\]
（1）这是《解析数论》、《特殊函数》中的一道练习题；
（2）在互联网上一时还找不到可供查阅的《解析数论》和《特殊函数》，可参见http://zuijianqiugen.blog.163.com/blog/static/1265240622011312101146555/