(*一道初中竞赛题(平面几何) *)
(*https://bbs.emath.ac.cn/thread-5591-1-1.html*)
Clear["Global`*"];
(*
AQ是∠PAB的角平分线，交PB于Q
AC=a,AP=b,AQ=c,AB=d
PQ=e,QB=f,PQ+QB=3,
不断应用勾股定理(三次)，
以及角平分线定理，
以及等腰三角形AQ=QB
PQ+QB=3,
*)
Grid@FullSimplify@Solve[
{
(*不断应用勾股定理(三次)*)
a^2+1^2==b^2,
a^2+(1+e)^2==c^2,
a^2+4^2==d^2,
(*角平分线定理*)
b/e==d/f,
(*等腰三角形AQ=QB*)
c==f,
(*PQ+QB=3*)
e+f==3
},{a,b,c,d,e,f}
]
求解结果
\[\begin{array}{cccccc}
a\to -\frac{4}{\sqrt{11}} & b\to -3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to -8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
a\to -\frac{4}{\sqrt{11}} & b\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
a\to \frac{4}{\sqrt{11}} & b\to -3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to -8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
a\to \frac{4}{\sqrt{11}} & b\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
\end{array}\]
Clear["Global`*"];
Solve==3*ArcTan,{x}]
\[\left\{\{x\to 0\},\left\{x\to -\frac{4}{\sqrt{11}}\right\},\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}}\right\}\right\}\]
一行代码解决问题，我就喜欢虐这种题目！
wayne 发表于 2014-6-8 18:39
我也给一个方法，很多变量可以设而不求的：
取BP中点，做BC的垂线交AB于D，过P做AB的垂线于E点，则$ AP=PD ...
类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
王守恩 发表于 2020-4-3 07:50
类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
你这个简单，初中就能解决，180°/7
mathematica 发表于 2020-4-2 14:29
\[\left\{\{x\to 0\},\left\{x\to -\frac{4}{\sqrt{11}}\right\},\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}}\rig ...
所有题目都可以一行代码解决，可惜有的人做不到。
王守恩 发表于 2020-4-3 07:50
类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
Clear["Global`*"];
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
x=1;
(*三次利用余弦定理，余弦值都一样！*)
ans=Solve[{cosa==cs==cs==cs&&a>0&&b>0},{cosa,a,b}]//FullSimplify//ToRadicals
(*计算反余弦得到角度*)
ArcCos//FullSimplify
求解结果
\[\left\{\left\{\text{cosa}\to \frac{1}{6} \left(\sqrt{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{7^{2/3}}{\sqrt{\frac{1}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}}+1\right),a\to \frac{1}{3} \left(\sqrt{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{7^{2/3}}{\sqrt{\frac{1}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}}-2\right),b\to -\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{1}{3}-\frac{7^{2/3} \left(1-i \sqrt{3}\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt{-1+3 i \sqrt{3}}}\right\}\right\}\]
\[\left\{\frac{\pi }{7}\right\}\]
mathematica 发表于 2020-4-3 10:23
求解结果
\[\left\{\left\{\text{cosa}\to \frac{1}{6} \left(\sqrt{\frac{7}{2} \left(-1+3 i ...
类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
模样没变，往前走：7根换成9，11，13，15，......
王守恩 发表于 2020-4-3 07:50
类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
模样没变，往前走：7根换成9，11，13，15，......
简单算起。
3根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{3}\)
5根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{5}\)
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{7}\)
9根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{9}\)
Clear["Global`*"];
(*一道初中竞赛题(平面几何)*)
(*https://bbs.emath.ac.cn/thread-5591-1-4.html*)
ans=FullSimplify@ToRules@Reduce[
x^2+1^2==a^2&&(*勾股定理*)
x^2+4^2==b^2&&(*勾股定理*)
Cos==1/a&&(*余弦定义*)
Cos==4/b&&(*余弦定义*)
x>0&&a>0&&b>0&&0<B<Pi/6,(*限制变量范围*)
{x,a,b,B}
]
能够列方程，就绝不添加任何一道辅助线！
求解结果：
\[\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}},a\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}},b\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}},B\to 2 \cot ^{-1}\left(2 \sqrt{3}+\sqrt{11}\right)\right\}\]
Clear["Global`*"];
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
ans=FullSimplify@Solve[{
AC^2+1^2==AP^2,(*勾股定理*)
AC^2+(1+3)^2==AB^2,(*勾股定理*)
cosBAP==cs,(*余弦定理*)
cosB==4/AB,(*余弦定义*)
cosBAP==2*cosB^2-1,(*二倍角公式*)
AC>=0&&AP>=0&&AB>=0&&cosBAP>=0&&cosB>=0(*限制变量范围*)
},{AC,AP,AB,cosBAP,cosB}]
代码非常清晰,一眼就能看明白！
看起来似乎应该两个解,加上蜕化的三角形，应该算两个解！
\[\begin{array}{ccccc}
\text{AC}\to 0 & \text{AP}\to 1 & \text{AB}\to 4 & \text{cosBAP}\to 1 & \text{cosB}\to 1 \\
\text{AC}\to \frac{4}{\sqrt{11}} & \text{AP}\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{AB}\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{cosBAP}\to \frac{5}{6} & \text{cosB}\to \frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{2} \\
\end{array}\]