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楼主: chyanog

[讨论] 一道初中竞赛题(平面几何)

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发表于 2020-4-1 15:29:43 | 显示全部楼层
  1. (*一道初中竞赛题(平面几何) *)
  2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-5591-1-1.html*)
  3. Clear["Global`*"];
  4. (*
  5.     AQ是∠PAB的角平分线,交PB于Q
  6.     AC=a,AP=b,AQ=c,AB=d
  7.     PQ=e,QB=f,PQ+QB=3,
  8.     不断应用勾股定理(三次),
  9.     以及角平分线定理,
  10.     以及等腰三角形AQ=QB
  11.     PQ+QB=3,
  12. *)
  13. Grid@FullSimplify@Solve[
  14.     {
  15.         (*不断应用勾股定理(三次)*)
  16.         a^2+1^2==b^2,
  17.         a^2+(1+e)^2==c^2,
  18.         a^2+4^2==d^2,
  19.         (*角平分线定理*)
  20.         b/e==d/f,
  21.         (*等腰三角形AQ=QB*)
  22.         c==f,
  23.         (*PQ+QB=3*)
  24.         e+f==3
  25.     },{a,b,c,d,e,f}
  26. ]
复制代码


求解结果
\[\begin{array}{cccccc}
a\to -\frac{4}{\sqrt{11}} & b\to -3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to -8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
a\to -\frac{4}{\sqrt{11}} & b\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
a\to \frac{4}{\sqrt{11}} & b\to -3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to -8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
a\to \frac{4}{\sqrt{11}} & b\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
\end{array}\]

点评

最后一行是结果!  发表于 2021-1-18 13:04
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-4-2 14:29:39 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. Solve[ArcTan[x/1]==3*ArcTan[x/4],{x}]
复制代码


\[\left\{\{x\to 0\},\left\{x\to -\frac{4}{\sqrt{11}}\right\},\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}}\right\}\right\}\]

一行代码解决问题,我就喜欢虐这种题目!

点评

方程思想太牛逼了!一切交给电脑去处理!列方程交给人类,解方程交给计算机,把人类从复杂的计算劳动中解放出来!  发表于 2021-1-20 10:32
这段代码是我见过最牛逼的!一行代码就解决了这个问题!  发表于 2021-1-20 10:31
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-4-3 07:50:23 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2014-6-8 18:39
我也给一个方法,很多变量可以设而不求的:
取BP中点,做BC的垂线交AB于D,过P做AB的垂线于E点,则$ AP=PD ...

类似的题目:
7根首尾相连的火柴杆,已知每根火柴杆长度都相等,求图中的 ∠α
360截图20200403074646281.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-4-3 08:56:03 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-4-3 07:50
类似的题目:
7根首尾相连的火柴杆,已知每根火柴杆长度都相等,求图中的 ∠α

你这个简单,初中就能解决,180°/7
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-4-3 09:45:16 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-4-2 14:29
\[\left\{\{x\to 0\},\left\{x\to -\frac{4}{\sqrt{11}}\right\},\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}}\rig ...


所有题目都可以一行代码解决,可惜有的人做不到。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-4-3 10:23:53 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-4-3 07:50
类似的题目:
7根首尾相连的火柴杆,已知每根火柴杆长度都相等,求图中的 ∠α
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  4. x=1;
  5. (*三次利用余弦定理,余弦值都一样!*)
  6. ans=Solve[{cosa==cs[x,x+a,x]==cs[x+a+b,x+a,x]==cs[x+a+b,x+a+b,x]&&a>0&&b>0},{cosa,a,b}]//FullSimplify//ToRadicals
  7. (*计算反余弦得到角度*)
  8. ArcCos[cosa/.ans]//FullSimplify
复制代码


求解结果

\[\left\{\left\{\text{cosa}\to \frac{1}{6} \left(\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}}+1\right),a\to \frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}}-2\right),b\to -\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{1}{3}-\frac{7^{2/3} \left(1-i \sqrt{3}\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}\right\}\right\}\]

\[\left\{\frac{\pi }{7}\right\}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-4-5 06:52:06 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-4-3 10:23
求解结果

\[\left\{\left\{\text{cosa}\to \frac{1}{6} \left(\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i ...

类似的题目:
7根首尾相连的火柴杆,已知每根火柴杆长度都相等,求图中的 ∠α
模样没变,往前走:7根换成9,11,13,15,......
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-4-6 05:56:34 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-4-3 07:50
类似的题目:
7根首尾相连的火柴杆,已知每根火柴杆长度都相等,求图中的 ∠α

类似的题目:
7根首尾相连的火柴杆,已知每根火柴杆长度都相等,求图中的 ∠α
模样没变,往前走:7根换成9,11,13,15,......

简单算起。
3根首尾相连的火柴杆,已知每根火柴杆长度都相等, \(\D ∠α=\frac{\pi}{3}\)

5根首尾相连的火柴杆,已知每根火柴杆长度都相等, \(\D ∠α=\frac{\pi}{5}\)

7根首尾相连的火柴杆,已知每根火柴杆长度都相等, \(\D ∠α=\frac{\pi}{7}\)

9根首尾相连的火柴杆,已知每根火柴杆长度都相等, \(\D ∠α=\frac{\pi}{9}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-18 13:01:48 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*一道初中竞赛题(平面几何)*)
  3. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-5591-1-4.html*)
  4. ans=FullSimplify@ToRules@Reduce[
  5.     x^2+1^2==a^2&&(*勾股定理*)
  6.     x^2+4^2==b^2&&(*勾股定理*)
  7.     Cos[3*B]==1/a&&(*余弦定义*)
  8.     Cos[B]==4/b&&(*余弦定义*)
  9.     x>0&&a>0&&b>0&&0<B<Pi/6,(*限制变量范围*)
  10.     {x,a,b,B}
  11. ]
复制代码

能够列方程,就绝不添加任何一道辅助线!

求解结果:
\[\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}},a\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}},b\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}},B\to 2 \cot ^{-1}\left(2 \sqrt{3}+\sqrt{11}\right)\right\}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-19 08:41:51 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  4. ans=FullSimplify@Solve[{
  5.     AC^2+1^2==AP^2,(*勾股定理*)
  6.     AC^2+(1+3)^2==AB^2,(*勾股定理*)
  7.     cosBAP==cs[AP,AB,3],(*余弦定理*)
  8.     cosB==4/AB,(*余弦定义*)
  9.     cosBAP==2*cosB^2-1,(*二倍角公式*)
  10.     AC>=0&&AP>=0&&AB>=0&&cosBAP>=0&&cosB>=0(*限制变量范围*)
  11. },{AC,AP,AB,cosBAP,cosB}]
复制代码


代码非常清晰,一眼就能看明白!

看起来似乎应该两个解,加上蜕化的三角形,应该算两个解!

\[\begin{array}{ccccc}
\text{AC}\to 0 & \text{AP}\to 1 & \text{AB}\to 4 & \text{cosBAP}\to 1 & \text{cosB}\to 1 \\
\text{AC}\to \frac{4}{\sqrt{11}} & \text{AP}\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{AB}\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{cosBAP}\to \frac{5}{6} & \text{cosB}\to \frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{2} \\
\end{array}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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