一道初中竞赛题(平面几何)

mathematica

1. (*一道初中竞赛题(平面几何) *)
   
2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-5591-1-1.html*)
   
3. Clear["Global`*"];
   
4. (*
   
5.     AQ是∠PAB的角平分线，交PB于Q
   
6.     AC=a,AP=b,AQ=c,AB=d
   
7.     PQ=e,QB=f,PQ+QB=3,
   
8.     不断应用勾股定理(三次)，
   
9.     以及角平分线定理，
   
10.     以及等腰三角形AQ=QB
    
11.     PQ+QB=3,
    
12. *)
    
13. Grid@FullSimplify@Solve[
    
14.     {
    
15.         (*不断应用勾股定理(三次)*)
    
16.         a^2+1^2==b^2,
    
17.         a^2+(1+e)^2==c^2,
    
18.         a^2+4^2==d^2,
    
19.         (*角平分线定理*)
    
20.         b/e==d/f,
    
21.         (*等腰三角形AQ=QB*)
    
22.         c==f,
    
23.         (*PQ+QB=3*)
    
24.         e+f==3
    
25.     },{a,b,c,d,e,f}
    
26. ]
    

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求解结果
\[\begin{array}{cccccc}
a\to -\frac{4}{\sqrt{11}} & b\to -3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to -8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
a\to -\frac{4}{\sqrt{11}} & b\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
a\to \frac{4}{\sqrt{11}} & b\to -3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to -8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
a\to \frac{4}{\sqrt{11}} & b\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & c\to \frac{24}{11} & d\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & e\to \frac{9}{11} & f\to \frac{24}{11} \\
\end{array}\]

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. Solve[ArcTan[x/1]==3*ArcTan[x/4],{x}]
   

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\[\left\{\{x\to 0\},\left\{x\to -\frac{4}{\sqrt{11}}\right\},\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}}\right\}\right\}\]

一行代码解决问题，我就喜欢虐这种题目！

王守恩

wayne 发表于 2014-6-8 18:39
我也给一个方法，很多变量可以设而不求的：
取BP中点，做BC的垂线交AB于D，过P做AB的垂线于E点，则$ AP=PD ...

类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α

mathematica

王守恩 发表于 2020-4-3 07:50
类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α

你这个简单，初中就能解决，180°/7

zeroieme

mathematica 发表于 2020-4-2 14:29
\[\left\{\{x\to 0\},\left\{x\to -\frac{4}{\sqrt{11}}\right\},\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}}\rig ...

所有题目都可以一行代码解决，可惜有的人做不到。

mathematica

王守恩 发表于 2020-4-3 07:50
类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. x=1;
   
5. (*三次利用余弦定理，余弦值都一样！*)
   
6. ans=Solve[{cosa==cs[x,x+a,x]==cs[x+a+b,x+a,x]==cs[x+a+b,x+a+b,x]&&a>0&&b>0},{cosa,a,b}]//FullSimplify//ToRadicals
   
7. (*计算反余弦得到角度*)
   
8. ArcCos[cosa/.ans]//FullSimplify
   

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求解结果

\[\left\{\left\{\text{cosa}\to \frac{1}{6} \left(\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}}+1\right),a\to \frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}}-2\right),b\to -\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{1}{3}-\frac{7^{2/3} \left(1-i \sqrt{3}\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}\right\}\right\}\]

\[\left\{\frac{\pi }{7}\right\}\]

王守恩

mathematica 发表于 2020-4-3 10:23
求解结果

\[\left\{\left\{\text{cosa}\to \frac{1}{6} \left(\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i ...

类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
模样没变，往前走：7根换成9，11，13，15，......

王守恩

王守恩 发表于 2020-4-3 07:50
类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α

类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
模样没变，往前走：7根换成9，11，13，15，......

简单算起。
3根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{3}\)

5根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{5}\)

7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{7}\)

9根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{9}\)

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*一道初中竞赛题(平面几何)*)
   
3. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-5591-1-4.html*)
   
4. ans=FullSimplify@ToRules@Reduce[
   
5.     x^2+1^2==a^2&&(*勾股定理*)
   
6.     x^2+4^2==b^2&&(*勾股定理*)
   
7.     Cos[3*B]==1/a&&(*余弦定义*)
   
8.     Cos[B]==4/b&&(*余弦定义*)
   
9.     x>0&&a>0&&b>0&&0<B<Pi/6,(*限制变量范围*)
   
10.     {x,a,b,B}
    
11. ]
    

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能够列方程，就绝不添加任何一道辅助线！

求解结果：
\[\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}},a\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}},b\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}},B\to 2 \cot ^{-1}\left(2 \sqrt{3}+\sqrt{11}\right)\right\}\]

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. ans=FullSimplify@Solve[{
   
5.     AC^2+1^2==AP^2,(*勾股定理*)
   
6.     AC^2+(1+3)^2==AB^2,(*勾股定理*)
   
7.     cosBAP==cs[AP,AB,3],(*余弦定理*)
   
8.     cosB==4/AB,(*余弦定义*)
   
9.     cosBAP==2*cosB^2-1,(*二倍角公式*)
   
10.     AC>=0&&AP>=0&&AB>=0&&cosBAP>=0&&cosB>=0(*限制变量范围*)
    
11. },{AC,AP,AB,cosBAP,cosB}]
    

复制代码

代码非常清晰,一眼就能看明白！

看起来似乎应该两个解,加上蜕化的三角形，应该算两个解！

\[\begin{array}{ccccc}
\text{AC}\to 0 & \text{AP}\to 1 & \text{AB}\to 4 & \text{cosBAP}\to 1 & \text{cosB}\to 1 \\
\text{AC}\to \frac{4}{\sqrt{11}} & \text{AP}\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{AB}\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{cosBAP}\to \frac{5}{6} & \text{cosB}\to \frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{2} \\
\end{array}\]