一道初中竞赛题(平面几何)

mathematica

王守恩 发表于 2020-4-3 07:50
类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. x=1;
   
5. (*三次利用余弦定理，余弦值都一样！*)
   
6. ans=Solve[{cosa==cs[x,x+a,x]==cs[x+a+b,x+a,x]==cs[x+a+b,x+a+b,x]&&a>0&&b>0},{cosa,a,b}]//FullSimplify//ToRadicals
   
7. (*计算反余弦得到角度*)
   
8. ArcCos[cosa/.ans]//FullSimplify
   

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求解结果

\[\left\{\left\{\text{cosa}\to \frac{1}{6} \left(\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}}+1\right),a\to \frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}}-2\right),b\to -\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}+\frac{1}{3}-\frac{7^{2/3} \left(1-i \sqrt{3}\right)}{3\ 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}\right\}\right\}\]

\[\left\{\frac{\pi }{7}\right\}\]

王守恩

mathematica 发表于 2020-4-3 10:23
求解结果

\[\left\{\left\{\text{cosa}\to \frac{1}{6} \left(\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i ...

类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
模样没变，往前走：7根换成9，11，13，15，......

王守恩

王守恩 发表于 2020-4-3 07:50
类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α

类似的题目：
7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等，求图中的 ∠α
模样没变，往前走：7根换成9，11，13，15，......

简单算起。
3根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{3}\)

5根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{5}\)

7根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{7}\)

9根首尾相连的火柴杆，已知每根火柴杆长度都相等， \(\D ∠α=\frac{\pi}{9}\)

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*一道初中竞赛题(平面几何)*)
   
3. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-5591-1-4.html*)
   
4. ans=FullSimplify@ToRules@Reduce[
   
5.     x^2+1^2==a^2&&(*勾股定理*)
   
6.     x^2+4^2==b^2&&(*勾股定理*)
   
7.     Cos[3*B]==1/a&&(*余弦定义*)
   
8.     Cos[B]==4/b&&(*余弦定义*)
   
9.     x>0&&a>0&&b>0&&0<B<Pi/6,(*限制变量范围*)
   
10.     {x,a,b,B}
    
11. ]
    

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能够列方程，就绝不添加任何一道辅助线！

求解结果：
\[\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}},a\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}},b\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}},B\to 2 \cot ^{-1}\left(2 \sqrt{3}+\sqrt{11}\right)\right\}\]

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. ans=FullSimplify@Solve[{
   
5.     AC^2+1^2==AP^2,(*勾股定理*)
   
6.     AC^2+(1+3)^2==AB^2,(*勾股定理*)
   
7.     cosBAP==cs[AP,AB,3],(*余弦定理*)
   
8.     cosB==4/AB,(*余弦定义*)
   
9.     cosBAP==2*cosB^2-1,(*二倍角公式*)
   
10.     AC>=0&&AP>=0&&AB>=0&&cosBAP>=0&&cosB>=0(*限制变量范围*)
    
11. },{AC,AP,AB,cosBAP,cosB}]
    

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代码非常清晰,一眼就能看明白！

看起来似乎应该两个解,加上蜕化的三角形，应该算两个解！

\[\begin{array}{ccccc}
\text{AC}\to 0 & \text{AP}\to 1 & \text{AB}\to 4 & \text{cosBAP}\to 1 & \text{cosB}\to 1 \\
\text{AC}\to \frac{4}{\sqrt{11}} & \text{AP}\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{AB}\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{cosBAP}\to \frac{5}{6} & \text{cosB}\to \frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{2} \\
\end{array}\]

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. ans=FullSimplify@Solve[{
   
3.     AC^2+1^2==AP^2,(*勾股定理*)
   
4.     AC^2+(1+3)^2==AB^2,(*勾股定理*)
   
5.     cosAPC==1/AP,(*余弦定义*)
   
6.     cosB==4/AB,(*余弦定义*)
   
7.     cosAPC==4*cosB^3-3*cosB,(*三倍角公式*)
   
8.     AC>=0&&AP>=0&&AB>=0(*限制变量范围*)
   
9. },{AC,AP,AB,cosAPC,cosB}];
   
10. aaa=Grid[ans]
    

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求解结果:
\[\begin{array}{ccccc}
\text{AC}\to 0 & \text{AP}\to 1 & \text{AB}\to 4 & \text{cosAPC}\to 1 & \text{cosB}\to 1 \\
\text{AC}\to \frac{4}{\sqrt{11}} & \text{AP}\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{AB}\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{cosAPC}\to \frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{3} & \text{cosB}\to \frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{2} \\
\end{array}\]

1. Clear["Global`*"];
   
2. ans=FullSimplify@Solve[{
   
3.     AC^2+1^2==AP^2,(*勾股定理*)
   
4.     AC^2+(1+3)^2==AB^2,(*勾股定理*)
   
5.     cosAPC==1/AP,(*余弦定义*)
   
6.     cosB==4/AB,(*余弦定义*)
   
7.     cosAPC==4*cosB^3-3*cosB(*三倍角公式*)
   
8. },{AC,AP,AB,cosAPC,cosB}];
   
9. aaa=Grid[ans,Alignment->Left]
   

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\[\begin{array}{lllll}
\text{AC}\to 0 & \text{AP}\to -1 & \text{AB}\to -4 & \text{cosAPC}\to -1 & \text{cosB}\to -1 \\
\text{AC}\to 0 & \text{AP}\to 1 & \text{AB}\to 4 & \text{cosAPC}\to 1 & \text{cosB}\to 1 \\
\text{AC}\to -4 \sqrt{\frac{7}{13}} & \text{AP}\to 5 \sqrt{\frac{5}{13}} & \text{AB}\to -8 \sqrt{\frac{5}{13}} & \text{cosAPC}\to \frac{\sqrt{\frac{13}{5}}}{5} & \text{cosB}\to -\frac{\sqrt{\frac{13}{5}}}{2} \\
\text{AC}\to 4 \sqrt{\frac{7}{13}} & \text{AP}\to 5 \sqrt{\frac{5}{13}} & \text{AB}\to -8 \sqrt{\frac{5}{13}} & \text{cosAPC}\to \frac{\sqrt{\frac{13}{5}}}{5} & \text{cosB}\to -\frac{\sqrt{\frac{13}{5}}}{2} \\
\text{AC}\to -4 \sqrt{\frac{7}{13}} & \text{AP}\to -5 \sqrt{\frac{5}{13}} & \text{AB}\to 8 \sqrt{\frac{5}{13}} & \text{cosAPC}\to -\frac{\sqrt{\frac{13}{5}}}{5} & \text{cosB}\to \frac{\sqrt{\frac{13}{5}}}{2} \\
\text{AC}\to 4 \sqrt{\frac{7}{13}} & \text{AP}\to -5 \sqrt{\frac{5}{13}} & \text{AB}\to 8 \sqrt{\frac{5}{13}} & \text{cosAPC}\to -\frac{\sqrt{\frac{13}{5}}}{5} & \text{cosB}\to \frac{\sqrt{\frac{13}{5}}}{2} \\
\text{AC}\to -\frac{4}{\sqrt{11}} & \text{AP}\to -3 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{AB}\to -8 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{cosAPC}\to -\frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{3} & \text{cosB}\to -\frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{2} \\
\text{AC}\to \frac{4}{\sqrt{11}} & \text{AP}\to -3 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{AB}\to -8 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{cosAPC}\to -\frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{3} & \text{cosB}\to -\frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{2} \\
\text{AC}\to -\frac{4}{\sqrt{11}} & \text{AP}\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{AB}\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{cosAPC}\to \frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{3} & \text{cosB}\to \frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{2} \\
\text{AC}\to \frac{4}{\sqrt{11}} & \text{AP}\to 3 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{AB}\to 8 \sqrt{\frac{3}{11}} & \text{cosAPC}\to \frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{3} & \text{cosB}\to \frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{2} \\
\end{array}\]

mathematica

mathematica 发表于 2021-1-19 08:54
求解结果:
\[\begin{array}{ccccc}
\text{AC}\to 0 & \text{AP}\to 1 & \text{AB}\to 4 & \text{cos ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. ans=FullSimplify@Solve[AC==Tan[3*B]&&AC==4*Tan[B]&&0<=B<Pi/2,{AC,B}]
   

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求解结果
\[{{AC->0,B->0},{AC->4/Sqrt[11],B->2 ArcCot[2 Sqrt[3]+Sqrt[11]]}}\]

mathematica

假设题目修改成
Rt△ABC中∠C=90°，P在BC上满足PB=5，PC=1，∠APC=5∠B，求AC的长．
那么这个题目就有点难度了，用辅助线应该很难解决了！

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. ans=Solve[ArcTan[x/1]==5*ArcTan[x/6],{x}]
   

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求解结果
\[\left\{\{x\to 0\},\left\{x\to -6 \sqrt{\frac{25}{29}-\frac{2 \sqrt{149}}{29}}\right\},\left\{x\to 6 \sqrt{\frac{25}{29}-\frac{2 \sqrt{149}}{29}}\right\}\right\}\]
数值化结果

\[\{\{x\to 0.\},\{x\to -0.853552\},\{x\to 0.853552\}\}\]