数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 6076|回复: 34

[讨论] 一道初中竞赛题(平面几何)

[复制链接]
发表于 2014-6-8 16:32:55 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
2014-06-08_162803.png
Rt△ABC中∠C=90°,P在BC上满足PB=3,PC=1,∠APC=3∠B,求AC的长.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-8 17:26:31 | 显示全部楼层
根据已知条件可知`\angle PAB=2\angle B`
在`\triangle APB`中使用正弦定理
$$\frac{PA}{\sin B}=\frac{PB}{\sin 2B}$$
于是$$PB=3PC=2PA\cos B$$
而$$\frac{PC}{PA}=\cos 3B=4\cos^3 B-3\cos B$$
代入上式,并且考虑到`\angle B`为锐角,求出
$$\cos B=\sqrt{\frac{11}{12}}$$
所以
$$AC=BC \tan B=4\cdot \frac{\sqrt{11}}{11}$$

点评

Solve[ArcTan[x/1]==3*ArcTan[x/4],{x}] 一行代码吊打这个问题!  发表于 2021-1-20 10:40
我刚刚突然想起了。想到了两种方法  发表于 2014-6-8 18:06
用正切确实更简洁,不过多数初中生可能不会倍角公式  发表于 2014-6-8 18:01
根本不必用正弦定理,直接PC tan3B= BC tanB,根据正切三倍角公式立即可求出tanB=sqrt(11)/11  发表于 2014-6-8 17:43
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-8 17:46:50 | 显示全部楼层
先在BP上取点Q使得角BAQ=角B,
设PQ=x,于是AQ=BQ=3-x,CQ=1+x
于是AC^2=AQ^2-CQ^2=(3-x)^2-(1+x)^2=8-8x (得出0<x<1)
AP^2=AC^2+1=9-8x
AB^2=AC^2+16=24-8x
根据角平分线定理
AB^2/AP^2=(BQ)^2/(PQ)^2=(3-x)^2/x^2
(24-8x)/(9-8x)=(3-x)^2/x^2
于是x=9/11,AC^2=16/11

评分

参与人数 1威望 +2 贡献 +2 经验 +2 鲜花 +2 收起 理由
chyanog + 2 + 2 + 2 + 2 很给力!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-8 18:10:29 | 显示全部楼层
一般来说,初中生知道正弦定理,参加竞赛的应该知道余弦定理。
在△APB中使用余弦定理,△APC用勾股定理即可求出AC.

设x=AC,那么根据勾股定理,AP^2=x^2+1,所以cosB=4/sqrt(x^2+16)
在三角形APB中,根据余弦定理,cos3B=(x^2+1+3^2-(x^2+4^2))/(2*sqrt(x^2+1^2)*3)=-4/(3*sqrt(x^2+1))
再根据2楼的正弦定理,得到cos3B=2cosB/3,代入后可以求出x.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-8 18:39:03 | 显示全部楼层
如图,取BP和AD的中垂线DF和PE,易得$AP=PD=DB =:x$,
设$AC=y$,则  $x=\sqrt{y^2+1}, AB=\sqrt{y^2+16}$。
△ABC∽△DBF → AB/DB =BC/BF,即 $\sqrt{y^2+16}/4=\sqrt{y^2+1}/(3/2)$
解之 $y=4/\sqrt{11}$
zx.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-12 14:44:00 | 显示全部楼层
  1. 4Tan[B] /. Solve[Tan[3B]/Tan[B] == 4, B]
复制代码

mathematica软件得到的结果是$4/\sqrt{11}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-6-13 10:23:29 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2014-6-8 17:46
先在BP上取点Q使得角BAQ=角B,
设PQ=x,于是AQ=BQ=3-x,CQ=1+x
于是AC^2=AQ^2-CQ^2=(3-x)^2-(1+x)^2=8-8x ( ...

还可以证△APQ∽△BPA,这样就用不到角平分线的性质定理了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-5-13 13:08:08 | 显示全部楼层
  1. FullSimplify[Tan[3*B]/.ToRules@Reduce[4Tan[B]==Tan[3B]&&0<B<Pi/3]]
复制代码


\[\frac{4}{\sqrt{11}}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-5-13 13:24:53 | 显示全部楼层
  1. Solve[{Sqrt[x^2+(1+y)^2]==3-y,((x^2+1)+(x^2+(1+y)^2)-y^2)/(2*Sqrt[(x^2+1)]*Sqrt[(x^2+(1+y)^2)])==4/Sqrt[x^2+16]},{x,y}]
复制代码


\[\left\{\left\{x\to -\frac{4}{\sqrt{11}},y\to \frac{9}{11}\right\},\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}},y\to \frac{9}{11}\right\},\{x\to 0,y\to 1\}\right\}\]
一题目多解答

点评

9/11应该是PB被角平分线分的两段中的左边的那段  发表于 2021-1-18 13:03
连我现在的自己也看不懂过去的回答了  发表于 2019-1-9 10:31
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-5-13 13:27:08 | 显示全部楼层
利用三倍角公式
  1. Solve[(3 - x^2)/(1 - 3*x^2) == 1/4, x]
复制代码

点评

应该是Solve[(3 - x^2)/(1 - 3*x^2) == 4, x]  发表于 2019-1-9 10:29
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-2-26 08:58 , Processed in 0.074840 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表