一道初中竞赛题(平面几何)

chyanog

Rt△ABC中∠C=90°，P在BC上满足PB=3，PC=1，∠APC=3∠B，求AC的长．

kastin

根据已知条件可知`\angle PAB=2\angle B`
在`\triangle APB`中使用正弦定理
$$\frac{PA}{\sin B}=\frac{PB}{\sin 2B}$$
于是$$PB=3PC=2PA\cos B$$
而$$\frac{PC}{PA}=\cos 3B=4\cos^3 B-3\cos B$$
代入上式，并且考虑到`\angle B`为锐角，求出
$$\cos B=\sqrt{\frac{11}{12}}$$
所以
$$AC=BC \tan B=4\cdot \frac{\sqrt{11}}{11}$$

mathe

先在BP上取点Q使得角BAQ=角B,
设PQ=x,于是AQ=BQ=3-x,CQ=1+x
于是AC^2=AQ^2-CQ^2=(3-x)^2-(1+x)^2=8-8x (得出0<x<1)
AP^2=AC^2+1=9-8x
AB^2=AC^2+16=24-8x
根据角平分线定理
AB^2/AP^2=(BQ)^2/(PQ)^2=(3-x)^2/x^2
(24-8x)/(9-8x)=(3-x)^2/x^2
于是x=9/11,AC^2=16/11

kastin

一般来说，初中生知道正弦定理，参加竞赛的应该知道余弦定理。
在△APB中使用余弦定理，△APC用勾股定理即可求出AC.

设x=AC,那么根据勾股定理,AP^2=x^2+1,所以cosB=4/sqrt(x^2+16)
在三角形APB中，根据余弦定理，cos3B=(x^2+1+3^2-(x^2+4^2))/(2*sqrt(x^2+1^2)*3)=-4/(3*sqrt(x^2+1))
再根据2楼的正弦定理，得到cos3B=2cosB/3，代入后可以求出x.

wayne

如图，取BP和AD的中垂线DF和PE，易得$AP=PD=DB =:x$,
设$AC=y$,则  $x=\sqrt{y^2+1}, AB=\sqrt{y^2+16}$。
△ABC∽△DBF → AB/DB =BC/BF，即 $\sqrt{y^2+16}/4=\sqrt{y^2+1}/(3/2)$
解之 $y=4/\sqrt{11}$

cn8888

1. 4Tan[B] /. Solve[Tan[3B]/Tan[B] == 4, B]

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mathematica软件得到的结果是$4/\sqrt{11}$

chyanog

mathe 发表于 2014-6-8 17:46
先在BP上取点Q使得角BAQ=角B,
设PQ=x,于是AQ=BQ=3-x,CQ=1+x
于是AC^2=AQ^2-CQ^2=(3-x)^2-(1+x)^2=8-8x ( ...

还可以证△APQ∽△BPA，这样就用不到角平分线的性质定理了

mathematica

1. FullSimplify[Tan[3*B]/.ToRules@Reduce[4Tan[B]==Tan[3B]&&0<B<Pi/3]]
   

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\[\frac{4}{\sqrt{11}}\]

mathematica

1. Solve[{Sqrt[x^2+(1+y)^2]==3-y,((x^2+1)+(x^2+(1+y)^2)-y^2)/(2*Sqrt[(x^2+1)]*Sqrt[(x^2+(1+y)^2)])==4/Sqrt[x^2+16]},{x,y}]
   

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\[\left\{\left\{x\to -\frac{4}{\sqrt{11}},y\to \frac{9}{11}\right\},\left\{x\to \frac{4}{\sqrt{11}},y\to \frac{9}{11}\right\},\{x\to 0,y\to 1\}\right\}\]
一题目多解答

mathematica

利用三倍角公式

1. Solve[(3 - x^2)/(1 - 3*x^2) == 1/4, x]

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