本帖最后由 gogdizzy 于 2009-6-19 17:36 编辑
01-4． 在国际象棋棋盘上画圆，使圆周只经过黑色方格。试问，这种圆的半径最大可能为多少？
答案是sqrt(10)/2
昨晚和slide讨论了一下，得到了如下结论：
1、对于圆来说，必然要经过十字交叉点（棋盘横竖线交点，斜对角方块为同色）
2、圆弧对于每个黑色方块来说，只能有两种可能（见附件），即圆只能走黑色块的角，而不能走边。
3、圆的基本性质：圆心在圆上任意两点的中垂线上。
4、不能连续出现图2的走位，也就是说出现图2的走位后，再出现一样的走位，那么它们的中垂线是平行的，无法找到圆心。
5、通过上述约束，基本就可以确定出两种情况：
<1>连续4个图1走位，是一个圆心在白格中心，半径为sqrt(2)/2
<2>图1图2互相交叉（这样可以保证它们的中垂线交于1点），半径为sqrt(10)/2
01-3． 试画出一个图形，使得用它不能覆盖一个半径为1的半圆；但用两个这样的图形却可以覆盖一个半径为1的圆。
中华的传统——太极图案，呵呵
01-8．
（1）桌面上放着一些直径相同的硬币。证明：其中有的硬币至多与3枚其他硬币相切。
（2）对于直径不尽相同的硬币，证明：有的硬币至多与5枚其他硬币相切。
限制抬杠条件，所有硬币在同一平面内，即没有硬币叠放。
如果两个硬币切触，就用线段连接两者的圆心，如此得到一个图。考察其中的任何一个连通子图。
如果该子图存在叶结点，叶结点只与其它一个硬币相切，得证。所以假定不存在叶结点。
对于（1），考察子图的凸包，凸包上任一结点所在硬币至多与3枚其他硬币相切。
对于（2），考察直径最小的一枚硬币，其周围最多切触6枚同样最小的硬币，如此一来它就不是子图边界结点。考察与它切触的6个同样最小的硬币，如果皆为6度结点，同理不在边界，继续向外扩展。如果这样下去一直都是6度结点就会无限扩展，这与桌面大小有限相矛盾，也与存在更大硬币相矛盾。
01-7． 宇宙空间中飞行着2005架航天飞机，每一架航天飞机上有一位天文学家。航天飞机之间的距离各不相等，每位天文学家都在观察离自己最近的另一架航天飞机。证明：至少有一架航天飞机无人观察。
把航天飞机抽象为点，A观察B，就连一条有向边A→B, 如此形成一个有向图G。
由于两两距离各不相等，故从每个点恰好发出一条边，共有2005条边。
用反证法，假设每架航天飞机都有人观察。
则每点都至少有一条进入边，那么也只能有一条进入边。因为按进入统计的总边数也得是2005条。
可见，每个点都是2度点。
所以G必分裂成若干个子图，每个子图都是一个单向环。
由于沿着箭头方向距离越来越小，单向环的长度只能是2。
所以航天飞机的总数必是偶数。
但是2005是奇数。
01-5． 有一个插座，其边缘上均匀地分布着6个插孔；还有一个与之相应的插头。插座上的插洞被按某种方式编为1至6号，插头上的插栓也作了相应的编号。证明：可以把插头插入插座，使得所有插栓都不插在对号的插孔内。如果插孔和插栓的数目是7啦？
我给解读一下：就是插座和插头都是圆的，插孔和插柱都是环排列，可以旋转着插。
解答：
不妨假定插孔按逆时针方向的编号列表是{1,2,3,4,5,6}，假定一个插入按插孔的编号列表对应的插栓编号列表为{a,b,c,d,e,f}, 构造列表差
t0={a-1,b-2,c-3,d-4,e-5,f-6}
通过旋转可产生的其它5个插入的列表差为
t1={b-1,c-2,d-3,e-4,f-5,a-6}
t2={c-1,d-2,e-3,f-4,a-5,b-6}
t3={d-1,e-2,f-3,a-4,b-5,c-6}
t4={e-1,f-2,a-3,b-4,c-5,d-6}
t5={f-1,a-2,b-3,c-4,d-5,e-6}
用反证法，假定不存在错配插入，即这6行列表差，每行都包含至少一个0。
注意到 ti≡t0+i(mod6), 0∈ti → r∈t0 | r≡-i(mod 6),于是作为集合t0≡{0,1,2,3,4,5}(mod6) → Σt0≡3(mod6)
这与 Σt0=0 相矛盾。故假设不成立。
所以对于6个插孔和插头，任给一种情况，都可以找到某个插法，使得所有编号都不匹配。
对于一般情况 n 个插孔，n 为偶数时满足1+2+...+(n-1)≡n/2(mod n) , 同理可以保证存在错配插入。
当n为奇数时，取插栓列表为2{1,2,3,…,n}(mod n)={2,4,6,…,n-1,1,3,5,…,n}, 就有t0={1,2,3,…,n}，使得每个旋转插入都存在1个孔栓对号。
n=7 自然也不例外。
本帖最后由 数学星空 于 2009-6-29 15:10 编辑
To MATHE
X^312-1=(-1 + x) (1 + x) (1 + x^2) (1 - x + x^2) (1 + x + x^2) (1 + x^4) (1 -
x^2 + x^4) (1 - x^4 + x^8) (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6 -
x^7 + x^8 - x^9 + x^10 - x^11 + x^12) (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 +
x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12) (1 - x^2 + x^4 -
x^6 + x^8 - x^10 + x^12 - x^14 + x^16 - x^18 + x^20 - x^22 +
x^24) (1 - x + x^3 - x^4 + x^6 - x^7 + x^9 - x^10 + x^12 - x^14 +
x^15 - x^17 + x^18 - x^20 + x^21 - x^23 + x^24) (1 + x - x^3 -
x^4 + x^6 + x^7 - x^9 - x^10 + x^12 - x^14 - x^15 + x^17 + x^18 -
x^20 - x^21 + x^23 + x^24) (1 - x^4 + x^8 - x^12 + x^16 - x^20 +
x^24 - x^28 + x^32 - x^36 + x^40 - x^44 + x^48) (1 + x^2 - x^6 -
x^8 + x^12 + x^14 - x^18 - x^20 + x^24 - x^28 - x^30 + x^34 +
x^36 - x^40 - x^42 + x^46 + x^48) (1 + x^4 - x^12 - x^16 + x^24 +
x^28 - x^36 - x^40 + x^48 - x^56 - x^60 + x^68 + x^72 - x^80 -
x^84 + x^92 + x^96)
即最小周期大于312
可以计算(3 0 4 4)在第1557,1558,1559,1560项出现
上一次不能发图。
说明一下这个结果的意思。
以四位数的结果为例。
以1560为循环节的一共有6组，其中1，10，12，15，111，113为这六个数列的最小的数。
以312为循环节的一共有2组，其中2，20为这两个数列中最小的数。
以5为循环节的一共有3组，其中5，50，555为这三个数列中最小的数。
5位数还缺一个55555为一个循环节。
w2表示为位数。
以w2=4四位数为例，d3中表示长度为1560的链有6条，长度为312的链有2条，长度为5的链3条。
22# kofeffect
02-7这个20×30的方格纸内部有19条竖线+29条水平线=48条网线，所以穿过方格纸的一条直线最多被网线截为48+1=49段，每段刚好穿过一个小方格，故最多49格。
04-7 今定义一个二元运算※:a※b=a+b+ab, 那么※满足1)交换律2)结合律
证明:交换律是显然的,只需要证明结合律,即(a※b)※c= a※(b※c)｡注意到a※b=(a+1)(b+1)-1
所以(a※b)※c=(a※b+1)(c+1)-1=(a+1)(b+1)(c+1)-1
a※(b※c)=(a+1)( b※c+1)-1=(a+1)(b+1)(c+1)-1
得证※满足结合律｡
小李的操作实质上就是在两个数之间添上运算符※,由于※满足结合律和交换律,所以最终结果与操作顺序无关,总是等于(n+1)!-1. 显然， 对任意的n>1,最后得数都是奇数｡