本帖最后由 dlpg070 于 2018-12-16 17:05 编辑
mathe 9年前精妙证明了楼主难题
献上迟到的祝福
另外请教这是否2个瑕疵？
11#
发表于 2009-12-25 10:45:08
现在n不是平方数好处理。
这时由于Pell方程n.u^2-v^2=1
必然有无穷多正整数解，
疑问：必然 应为 不一定？
在14#发现问题，做了说明，但不如删除此楼或直接修改
14#
发表于 2009-12-25 12:05:44
11#还有一个问题，Pell方程nu^2-v^2=1 不一定总是有解，
但是nu^2-v^2=-1总是有解
不过这时我们在取 Y=2nu^2+1=v^2-1,X=2uv后，可以选择
疑问：v^2-1 应为 2v^2-1
笔误引起读者验证公式的困难，我曾困惑过
直到最近一个外行才有勇气提出来
学习wayne代码，用c++实现
统计每个n对应解数 cnt
{n= 4=(2)^2, { { 10,4}}cnt=1 }
{n= 9=(3)^2, { { 20,5}}cnt=1 }
{n= 16=(4)^2, { { 264,64} ,{ 37,7}}cnt=2 }
{n= 25=(5)^2, { { 143,26} ,{ 36,4}}cnt=2 }
{n= 36=(6)^2, { { 1962,324}}cnt=1 }
{n= 49=(7)^2, { { 550,75}}cnt=1 }
{n= 64=(8)^2, { { 8224,1024}}cnt=1 }
{n= 81=(9)^2, { { 1517,164} ,{ 101,5}}cnt=2 }
{n=100=( 10)^2, { { 25050,2500} ,{ 1241,119} ,{ 114,4}}cnt=3 }
{n=121=( 11)^2, { { 3416,305} ,{ 257,17} ,{ 186,10} ,{ 150,6}}cnt=4 }
{n=144=( 12)^2, { { 62280,5184}}cnt=1 }
{n=169=( 13)^2, { { 6715,510}}cnt=1 }
{n=196=( 14)^2, { { 134554,9604}}cnt=1 }
{n=225=( 15)^2, { { 11978,791}}cnt=1 }
{n=256=( 16)^2, { { 262272,16384} ,{ 4162,252}}cnt=2 }
{n=289=( 17)^2, { { 19865,1160}}cnt=1 }
{n=324=( 18)^2, { { 472554,26244}}cnt=1 }
{n=361=( 19)^2, { { 31132,1629} ,{ 3131,155}}cnt=2 }
{n=400=( 20)^2, { { 800200,40000}}cnt=1 }
{n=441=( 21)^2, { { 46631,2210}}cnt=1 }
{n=484=( 22)^2, { { 1288650,58564}}cnt=1 }
{n=529=( 23)^2, { { 67310,2915} ,{ 1090,34} ,{ 615,10}}cnt=3 }
{n=576=( 24)^2, { { 1990944,82944}}cnt=1 }
{n=625=( 25)^2, { { 94213,3756} ,{ 19690,775}}cnt=2 }
{n=676=( 26)^2, { { 2970682,114244} ,{ 28628,1088} ,{ 2831,95} ,{ 2138,68}}cnt=4 }
{n=729=( 27)^2, { { 128480,4745}}cnt=1 }
{n=784=( 28)^2, { { 4302984,153664}}cnt=1 }
{n=841=( 29)^2, { { 171347,5894} ,{ 2267,62}}cnt=2 }
{n=900=( 30)^2, { { 6075450,202500} ,{ 2627,71}}cnt=2 }
{n=961=( 31)^2, { { 224146,7215} ,{ 21411,675} ,{ 4047,114}}cnt=3 }
{n= 1024=( 32)^2, { { 8389120,262144}}cnt=1 }
{n= 1089=( 33)^2, { { 288305,8720}}cnt=1 }
{n= 1156=( 34)^2, { { 11359434,334084}}cnt=1 }
{n= 1225=( 35)^2, { { 365348,10421}}cnt=1 }
{n= 1296=( 36)^2, { { 15117192,419904} ,{ 70311,1935}}cnt=2 }
{n= 1369=( 37)^2, { { 456895,12330} ,{ 93890,2519} ,{ 3185,65}}cnt=3 }
{n= 1444=( 38)^2, { { 19809514,521284}}cnt=1 }
{n= 1521=( 39)^2, { { 564662,14459}}cnt=1 }
{n= 1600=( 40)^2, { { 25600800,640000}}cnt=1 }
{n= 1681=( 41)^2, { { 690461,16820}}cnt=1 }
{n= 1764=( 42)^2, { { 32673690,777924}}cnt=1 }
{n= 1849=( 43)^2, { { 836200,19425} ,{ 3069,45}}cnt=2 }
{n= 1936=( 44)^2, { { 41230024,937024}}cnt=1 }
{n= 2025=( 45)^2, { { 1003883,22286} ,{ 16795,350} ,{ 3854,59}}cnt=3 }
{n= 2116=( 46)^2, { { 51491802,1119364} ,{ 44081,935}}cnt=2 }
{n= 2209=( 47)^2, { { 1195610,25415} ,{ 111795,2355}}cnt=2 }
{n= 2304=( 48)^2, { { 63702144,1327104} ,{ 133589,2759} ,{ 6979,119}}cnt=3 }
{n= 2401=( 49)^2, { { 1413577,28824} ,{ 47668,948} ,{ 8793,153} ,{ 5394,82} ,{ 2951,26}}cnt=5 }
{n= 2500=( 50)^2, { { 78126250,1562500} ,{ 260803,5191}}cnt=2 }
{n= 2601=( 51)^2, { { 1660076,32525}}cnt=1 }
{n= 2704=( 52)^2, { { 95052360,1827904}}cnt=1 }
{n= 2809=( 53)^2, { { 1937495,36530}}cnt=1 }
{n= 2916=( 54)^2, { { 114792714,2125764}}cnt=1 }
{n= 3025=( 55)^2, { { 2248318,40851} ,{ 135941,2444}}cnt=2 }
{n= 3136=( 56)^2, { { 137684512,2458624} ,{ 19947,327} ,{ 10609,159}}cnt=3 }
{n= 3249=( 57)^2, { { 2595125,45500}}cnt=1 }
{n= 3364=( 58)^2, { { 164090874,2829124}}cnt=1 }
{n= 3481=( 59)^2, { { 2980592,50489}}cnt=1 }
{n= 3600=( 60)^2, { { 194401800,3240000}}cnt=1 }
{n= 3721=( 61)^2, { { 3407491,55830}}cnt=1 }
{n= 3844=( 62)^2, { { 229035130,3694084}}cnt=1 }
{n= 3969=( 63)^2, { { 3878690,61535}}cnt=1 }
{n= 4096=( 64)^2, { { 268437504,4194304} ,{ 525316,8176} ,{ 163277,2519} ,{ 8282,92} ,{ 5687,47}}cnt=5 }
{n= 4225=( 65)^2, { { 4397153,67616} ,{ 101260,1525}}cnt=2 }
{n= 4356=( 66)^2, { { 313085322,4743684}}cnt=1 }
{n= 4489=( 67)^2, { { 4965940,74085}}cnt=1 }
{n= 4624=( 68)^2, { { 363485704,5345344} ,{ 1333754,19580} ,{ 7240,64} ,{ 4839,15}}cnt=4 }
{n= 4761=( 69)^2, { { 5588207,80954}}cnt=1 }
{n= 4900=( 70)^2, { { 420177450,6002500}}cnt=1 }
{n= 5041=( 71)^2, { { 6267206,88235}}cnt=1 }
{n= 5184=( 72)^2, { { 483732000,6718464}}cnt=1 }
{n= 5329=( 73)^2, { { 7006285,95940}}cnt=1 }
{n= 5476=( 74)^2, { { 554754394,7496644}}cnt=1 }
{n= 5625=( 75)^2, { { 7808888,104081}}cnt=1 }
{n= 5776=( 76)^2, { { 633884232,8340544}}cnt=1 }
{n= 5929=( 77)^2, { { 8678555,112670}}cnt=1 }
{n= 6084=( 78)^2, { { 721796634,9253764}}cnt=1 }
{n= 6241=( 79)^2, { { 9618922,121719} ,{ 78630,955}}cnt=2 }
{n= 6400=( 80)^2, { { 819203200,10240000}}cnt=1 }
{n= 6561=( 81)^2, { { 10633721,131240} ,{ 1197387,14742}}cnt=2 }
{n= 6724=( 82)^2, { { 926852970,11303044} ,{ 1414094,17204}}cnt=2 }
{n= 6889=( 83)^2, { { 11726780,141245}}cnt=1 }
{n= 7056=( 84)^2, { { 1045533384,12446784}}cnt=1 }
{n= 7225=( 85)^2, { { 12902023,151746}}cnt=1 }
{n= 7396=( 86)^2, { { 1176071242,13675204}}cnt=1 }
{n= 7569=( 87)^2, { { 14163470,162755} ,{ 626194,7154}}cnt=2 }
{n= 7744=( 88)^2, { { 1319333664,14992384}}cnt=1 }
{n= 7921=( 89)^2, { { 15515237,174284} ,{ 38100,381}}cnt=2 }
{n= 8100=( 90)^2, { { 1476229050,16402500}}cnt=1 }
{n= 8281=( 91)^2, { { 16961536,186345}}cnt=1 }
{n= 8464=( 92)^2, { { 1647708040,17909824}}cnt=1 }
{n= 8649=( 93)^2, { { 18506675,198950} ,{ 31639,290}}cnt=2 }
{n= 8836=( 94)^2, { { 1834764474,19518724} ,{ 654819,6919} ,{ 64740,640}}cnt=3 }
{n= 9025=( 95)^2, { { 20155058,212111}}cnt=1 }
{n= 9216=( 96)^2, { { 2038436352,21233664}}cnt=1 }
{n= 9409=( 97)^2, { { 21911185,225840} ,{ 767624,7865}}cnt=2 }
{n= 9604=( 98)^2, { { 2259806794,23059204}}cnt=1 }
{n= 9801=( 99)^2, { { 23779652,240149}}cnt=1 }
{n=10000=(100)^2, { { 2500005000,25000000} ,{ 2502505,24975}}cnt=2 }
wayne 发表于 2018-12-15 13:45
$n=4,n^3-1 = 63 = 7*9 = 3*21 = 1*63$ 分别代入进去，得到正整数只有$a=10,b=4$ 一组解。
谢
n=4 只有1组解，不再查找了。我已经验算过
本帖最后由 dlpg070 于 2018-12-18 10:11 编辑
n=333b<100000000(搜b算a ) n = (a^2+b) / (a+b^2)
计算结果：（供研究多组解参考）
cnt= 1 ,n= 333 ,a=35970 ,b=1962
cnt= 2 ,n= 333 ,a=1590450 ,b=87147
cnt= 3 ,n= 333 ,a=1774265 ,b=97220
cnt= 4 ,n= 333 ,a=763111838 ,b=41818262
mathe 得到第3组解：
a=1774265,b=97220
dlpg070 发表于 2018-12-16 16:59
mathe 9年前精妙证明了楼主难题
献上迟到的祝福
回复mathe：
我正为自己的不礼貌感到不安的时候
惊喜看到你已经修正了2个小瑕疵
大家风范！
快速求 n = (a^2+b) / (a+b^2)的基本解和其它多组解的方法
(见过 x^2-dy^2=k的解的递推公式，现在找不到了，哪位可告知？)
n>1 并且不是平方数的情况 ：对于给定 n，有无穷组解（a,b）
求解基本解快熟的方法：
设 不定方程 nA^-B^2=n^3-1的解（A，B）
已知 基本解（A1=n,B1=1）
求得其其它解（Ai，Bi），
判断 满足
(（Ai+n) % 2) && ( (Bi+1) % (2*n)) 则 可计算得(a,b)
依次的基本解和其它解
下面给出 n=2 ,n=333 的结果：
参见 wayne 32#数据
cnt： (A，B)的序号
found： （a,b）的序号, =1是基本解
给定n,求解(A,B)各解
(搜B算A)
n= 2 ,cnt= 1 ,A= 2 ,B= 1 :
n= 2 ,cnt= 2 ,A= 4 ,B= 5 :
n= 2 ,cnt= 3 ,A= 8 ,B= 11 : found= 1 ,a= 5 ,b= 3基本解
n= 2 ,cnt= 4 ,A= 22 ,B= 31 : found= 2 ,a=12 ,b= 8
n= 2 ,cnt= 5 ,A= 46 ,B= 65 :
n= 2 ,cnt= 6 ,A= 128 ,B= 181 :
n= 2 ,cnt= 7 ,A= 268 ,B= 379 : found= 3 ,a= 135 ,b=95
n= 2 ,cnt= 8 ,A= 746 ,B= 1055 : found= 4 ,a= 374 ,b= 264
n= 2 ,cnt= 9 ,A= 1562 ,B= 2209 :
n= 2 ,cnt=10 ,A= 4348 ,B= 6149 :
n= 2 ,cnt=11 ,A= 9104 ,B= 12875 : found= 5 ,a=4553 ,b=3219
n= 2 ,cnt=12 ,A= 25342 ,B= 35839 : found= 6 ,a=12672 ,b=8960
n= 2 ,cnt=13 ,A= 53062 ,B= 75041 :
n= 2 ,cnt=14 ,A=147704 ,B=208885 :
n= 2 ,cnt=15 ,A=309268 ,B=437371 : found= 7 ,a=154635 ,b=109343
n= 2 ,cnt=16 ,A=860882 ,B= 1217471 : found= 8 ,a=430442 ,b=304368
n= 2 ,cnt=17 ,A= 1802546 ,B= 2549185 :
n= 2 ,cnt=18 ,A= 5017588 ,B= 7095941 :
n= 2 ,cnt=19 ,A=10506008 ,B=14857739 : found= 9 ,a=5253005 ,b=3714435
n= 2 ,cnt=20 ,A=29244646 ,B=41358175 : found=10 ,a=14622324 ,b=10339544
n= 2 ,cnt=21 ,A=61233502 ,B=86597249 :
n= 333 ,cnt= 1 ,A= 333 ,B= 1 :
n= 333 ,cnt= 2 ,A= 335 ,B= 667 :
n= 333 ,cnt= 3 ,A= 547 ,B= 7919 :
n= 333 ,cnt= 4 ,A= 598 ,B= 9064 :
n= 333 ,cnt= 5 ,A= 7398 ,B=134864 :
n= 333 ,cnt= 6 ,A= 8255 ,B=150517 :
n= 333 ,cnt= 7 ,A= 21787 ,B=397529 :
n= 333 ,cnt= 8 ,A= 24305 ,B=443483 :
n= 333 ,cnt= 9 ,A= 24313 ,B=443629 :
n= 333 ,cnt=10 ,A= 27123 ,B=494911 :
n= 333 ,cnt=11 ,A= 71607 ,B= 1306691 : found= 1 ,a=35970 ,b=1962 基本解
n= 333 ,cnt=12 ,A= 79910 ,B= 1458208 :
n= 333 ,cnt=13 ,A= 1079510 ,B=19699208 :
n= 333 ,cnt=14 ,A= 1204683 ,B=21983401 :
n= 333 ,cnt=15 ,A= 3180567 ,B=58039901 : found= 2 ,a=1590450 ,b=87147
n= 333 ,cnt=16 ,A= 3548197 ,B=64748519 : found= 3 ,a=1774265 ,b=97220
n= 333 ,cnt=17 ,A= 3549365 ,B=64769833 :
n= 333 ,cnt=18 ,A= 3959623 ,B=72256339 :
目测已经是15年前的问题了，顶大家一下。
northwolves 发表于 2023-3-11 21:55
目测已经是15年前的问题了，顶大家一下。
OEIS-A290332，OEIS-A290333,
战战兢兢的问：
OEIS-A290332: \(\frac{j^2+k}{j+k^2}=n\) 说得是 j 的公式，我会用“2017年8月16日”，
OEIS-A290333: \(\frac{j^2+k}{j+k^2}=n\) 说得是 k 的公式，没有“2017年8月16日”,
因为 k 比 j 还是小一些，可以有 k 的“2017年8月16日”吗？
因为 k 比 j 还是小一些，可以有 k 的“2017年8月16日”吗？
------------------------------------------------------------------
???