任意自然数

dlpg070

mathe 9年前精妙证明了楼主难题
献上迟到的祝福

另外请教这是否2个瑕疵？
11#
发表于 2009-12-25 10:45:08
现在n不是平方数好处理。
这时由于Pell方程n.u^2-v^2=1
必然有无穷多正整数解，
疑问：必然 应为 不一定？
在14#发现问题，做了说明，但不如删除此楼或直接修改

14#
发表于 2009-12-25 12:05:44
11#还有一个问题，Pell方程nu^2-v^2=1 不一定总是有解，
但是nu^2-v^2=-1总是有解
不过这时我们在取 Y=2nu^2+1=v^2-1,X=2uv后，可以选择
疑问：v^2-1 应为 2v^2-1
笔误引起读者验证公式的困难，我曾困惑过
直到最近一个外行才有勇气提出来

dlpg070

学习wayne代码，用c++实现
统计每个n对应解数 cnt
{n=    4=(  2)^2, { { 10,4}  }cnt=1 }
{n=    9=(  3)^2, { { 20,5}  }cnt=1 }
{n=   16=(  4)^2, { { 264,64} ,{ 37,7}  }cnt=2 }
{n=   25=(  5)^2, { { 143,26} ,{ 36,4}  }cnt=2 }
{n=   36=(  6)^2, { { 1962,324}  }cnt=1 }
{n=   49=(  7)^2, { { 550,75}  }cnt=1 }
{n=   64=(  8)^2, { { 8224,1024}  }cnt=1 }
{n=   81=(  9)^2, { { 1517,164} ,{ 101,5}  }cnt=2 }
{n=  100=( 10)^2, { { 25050,2500} ,{ 1241,119} ,{ 114,4}  }cnt=3 }
{n=  121=( 11)^2, { { 3416,305} ,{ 257,17} ,{ 186,10} ,{ 150,6}  }cnt=4 }
{n=  144=( 12)^2, { { 62280,5184}  }cnt=1 }
{n=  169=( 13)^2, { { 6715,510}  }cnt=1 }
{n=  196=( 14)^2, { { 134554,9604}  }cnt=1 }
{n=  225=( 15)^2, { { 11978,791}  }cnt=1 }
{n=  256=( 16)^2, { { 262272,16384} ,{ 4162,252}  }cnt=2 }
{n=  289=( 17)^2, { { 19865,1160}  }cnt=1 }
{n=  324=( 18)^2, { { 472554,26244}  }cnt=1 }
{n=  361=( 19)^2, { { 31132,1629} ,{ 3131,155}  }cnt=2 }
{n=  400=( 20)^2, { { 800200,40000}  }cnt=1 }
{n=  441=( 21)^2, { { 46631,2210}  }cnt=1 }
{n=  484=( 22)^2, { { 1288650,58564}  }cnt=1 }
{n=  529=( 23)^2, { { 67310,2915} ,{ 1090,34} ,{ 615,10}  }cnt=3 }
{n=  576=( 24)^2, { { 1990944,82944}  }cnt=1 }
{n=  625=( 25)^2, { { 94213,3756} ,{ 19690,775}  }cnt=2 }
{n=  676=( 26)^2, { { 2970682,114244} ,{ 28628,1088} ,{ 2831,95} ,{ 2138,68}  }cnt=4 }
{n=  729=( 27)^2, { { 128480,4745}  }cnt=1 }
{n=  784=( 28)^2, { { 4302984,153664}  }cnt=1 }
{n=  841=( 29)^2, { { 171347,5894} ,{ 2267,62}  }cnt=2 }
{n=  900=( 30)^2, { { 6075450,202500} ,{ 2627,71}  }cnt=2 }
{n=  961=( 31)^2, { { 224146,7215} ,{ 21411,675} ,{ 4047,114}  }cnt=3 }
{n= 1024=( 32)^2, { { 8389120,262144}  }cnt=1 }
{n= 1089=( 33)^2, { { 288305,8720}  }cnt=1 }
{n= 1156=( 34)^2, { { 11359434,334084}  }cnt=1 }
{n= 1225=( 35)^2, { { 365348,10421}  }cnt=1 }
{n= 1296=( 36)^2, { { 15117192,419904} ,{ 70311,1935}  }cnt=2 }
{n= 1369=( 37)^2, { { 456895,12330} ,{ 93890,2519} ,{ 3185,65}  }cnt=3 }
{n= 1444=( 38)^2, { { 19809514,521284}  }cnt=1 }
{n= 1521=( 39)^2, { { 564662,14459}  }cnt=1 }
{n= 1600=( 40)^2, { { 25600800,640000}  }cnt=1 }
{n= 1681=( 41)^2, { { 690461,16820}  }cnt=1 }
{n= 1764=( 42)^2, { { 32673690,777924}  }cnt=1 }
{n= 1849=( 43)^2, { { 836200,19425} ,{ 3069,45}  }cnt=2 }
{n= 1936=( 44)^2, { { 41230024,937024}  }cnt=1 }
{n= 2025=( 45)^2, { { 1003883,22286} ,{ 16795,350} ,{ 3854,59}  }cnt=3 }
{n= 2116=( 46)^2, { { 51491802,1119364} ,{ 44081,935}  }cnt=2 }
{n= 2209=( 47)^2, { { 1195610,25415} ,{ 111795,2355}  }cnt=2 }
{n= 2304=( 48)^2, { { 63702144,1327104} ,{ 133589,2759} ,{ 6979,119}  }cnt=3 }
{n= 2401=( 49)^2, { { 1413577,28824} ,{ 47668,948} ,{ 8793,153} ,{ 5394,82} ,{ 2951,26}  }cnt=5 }
{n= 2500=( 50)^2, { { 78126250,1562500} ,{ 260803,5191}  }cnt=2 }
{n= 2601=( 51)^2, { { 1660076,32525}  }cnt=1 }
{n= 2704=( 52)^2, { { 95052360,1827904}  }cnt=1 }
{n= 2809=( 53)^2, { { 1937495,36530}  }cnt=1 }
{n= 2916=( 54)^2, { { 114792714,2125764}  }cnt=1 }
{n= 3025=( 55)^2, { { 2248318,40851} ,{ 135941,2444}  }cnt=2 }
{n= 3136=( 56)^2, { { 137684512,2458624} ,{ 19947,327} ,{ 10609,159}  }cnt=3 }
{n= 3249=( 57)^2, { { 2595125,45500}  }cnt=1 }
{n= 3364=( 58)^2, { { 164090874,2829124}  }cnt=1 }
{n= 3481=( 59)^2, { { 2980592,50489}  }cnt=1 }
{n= 3600=( 60)^2, { { 194401800,3240000}  }cnt=1 }
{n= 3721=( 61)^2, { { 3407491,55830}  }cnt=1 }
{n= 3844=( 62)^2, { { 229035130,3694084}  }cnt=1 }
{n= 3969=( 63)^2, { { 3878690,61535}  }cnt=1 }
{n= 4096=( 64)^2, { { 268437504,4194304} ,{ 525316,8176} ,{ 163277,2519} ,{ 8282,92} ,{ 5687,47}  }cnt=5 }
{n= 4225=( 65)^2, { { 4397153,67616} ,{ 101260,1525}  }cnt=2 }
{n= 4356=( 66)^2, { { 313085322,4743684}  }cnt=1 }
{n= 4489=( 67)^2, { { 4965940,74085}  }cnt=1 }
{n= 4624=( 68)^2, { { 363485704,5345344} ,{ 1333754,19580} ,{ 7240,64} ,{ 4839,15}  }cnt=4 }
{n= 4761=( 69)^2, { { 5588207,80954}  }cnt=1 }
{n= 4900=( 70)^2, { { 420177450,6002500}  }cnt=1 }
{n= 5041=( 71)^2, { { 6267206,88235}  }cnt=1 }
{n= 5184=( 72)^2, { { 483732000,6718464}  }cnt=1 }
{n= 5329=( 73)^2, { { 7006285,95940}  }cnt=1 }
{n= 5476=( 74)^2, { { 554754394,7496644}  }cnt=1 }
{n= 5625=( 75)^2, { { 7808888,104081}  }cnt=1 }
{n= 5776=( 76)^2, { { 633884232,8340544}  }cnt=1 }
{n= 5929=( 77)^2, { { 8678555,112670}  }cnt=1 }
{n= 6084=( 78)^2, { { 721796634,9253764}  }cnt=1 }
{n= 6241=( 79)^2, { { 9618922,121719} ,{ 78630,955}  }cnt=2 }
{n= 6400=( 80)^2, { { 819203200,10240000}  }cnt=1 }
{n= 6561=( 81)^2, { { 10633721,131240} ,{ 1197387,14742}  }cnt=2 }
{n= 6724=( 82)^2, { { 926852970,11303044} ,{ 1414094,17204}  }cnt=2 }
{n= 6889=( 83)^2, { { 11726780,141245}  }cnt=1 }
{n= 7056=( 84)^2, { { 1045533384,12446784}  }cnt=1 }
{n= 7225=( 85)^2, { { 12902023,151746}  }cnt=1 }
{n= 7396=( 86)^2, { { 1176071242,13675204}  }cnt=1 }
{n= 7569=( 87)^2, { { 14163470,162755} ,{ 626194,7154}  }cnt=2 }
{n= 7744=( 88)^2, { { 1319333664,14992384}  }cnt=1 }
{n= 7921=( 89)^2, { { 15515237,174284} ,{ 38100,381}  }cnt=2 }
{n= 8100=( 90)^2, { { 1476229050,16402500}  }cnt=1 }
{n= 8281=( 91)^2, { { 16961536,186345}  }cnt=1 }
{n= 8464=( 92)^2, { { 1647708040,17909824}  }cnt=1 }
{n= 8649=( 93)^2, { { 18506675,198950} ,{ 31639,290}  }cnt=2 }
{n= 8836=( 94)^2, { { 1834764474,19518724} ,{ 654819,6919} ,{ 64740,640}  }cnt=3 }
{n= 9025=( 95)^2, { { 20155058,212111}  }cnt=1 }
{n= 9216=( 96)^2, { { 2038436352,21233664}  }cnt=1 }
{n= 9409=( 97)^2, { { 21911185,225840} ,{ 767624,7865}  }cnt=2 }
{n= 9604=( 98)^2, { { 2259806794,23059204}  }cnt=1 }
{n= 9801=( 99)^2, { { 23779652,240149}  }cnt=1 }
{n=10000=(100)^2, { { 2500005000,25000000} ,{ 2502505,24975}  }cnt=2 }

dlpg070

wayne 发表于 2018-12-15 13:45
$n=4,  n^3-1 = 63 = 7*9 = 3*21 = 1*63$ 分别代入进去，得到正整数只有$a=10,b=4$ 一组解。

谢
n=4 只有1组解，不再查找了。我已经验算过

dlpg070

n=333  b<100000000(搜b算a ) n = (a^2+b) / (a+b^2)
计算结果：（供研究多组解参考）
cnt=   1 ,n= 333 ,a=35970 ,b=1962
cnt=   2 ,n= 333 ,a=1590450 ,b=87147
cnt=   3 ,n= 333 ,a=1774265 ,b=97220
cnt=   4 ,n= 333 ,a=763111838 ,b=41818262
mathe 得到第3组解：
a=1774265,b=97220

dlpg070

dlpg070 发表于 2018-12-16 16:59
mathe 9年前精妙证明了楼主难题
献上迟到的祝福

回复mathe：
我正为自己的不礼貌感到不安的时候
惊喜看到你已经修正了2个小瑕疵
大家风范！

dlpg070

快速求 n = (a^2+b) / (a+b^2)的基本解和其它多组解的方法
(见过 x^2-dy^2=k的解的递推公式，现在找不到了，哪位可告知？)
n>1 并且不是平方数的情况 ：对于给定 n，有无穷组解（a,b）
求解基本解快熟的方法：
设 不定方程 nA^-B^2=n^3-1的解（A，B）
已知 基本解（A1=n,B1=1）
求得其其它解（Ai，Bi），
判断 满足
(（Ai+n) % 2) && ( (Bi+1) % (2*n)) 则 可计算得(a,b)
依次的基本解和其它解
下面给出 n=2 ,n=333 的结果：
参见 wayne 32#数据
cnt：    (A，B)的序号
found： （a,b）的序号, =1是基本解

给定n,求解(A,B)各解
(搜B算A)

n=   2 ,cnt=   1 ,A=       2 ,B=       1 :
n=   2 ,cnt=   2 ,A=       4 ,B=       5 :
n=   2 ,cnt=   3 ,A=       8 ,B=      11 : found=   1 ,a=   5 ,b=   3  基本解
n=   2 ,cnt=   4 ,A=      22 ,B=      31 : found=   2 ,a=  12 ,b=   8  
n=   2 ,cnt=   5 ,A=      46 ,B=      65 :
n=   2 ,cnt=   6 ,A=     128 ,B=     181 :
n=   2 ,cnt=   7 ,A=     268 ,B=     379 : found=   3 ,a= 135 ,b=  95  
n=   2 ,cnt=   8 ,A=     746 ,B=    1055 : found=   4 ,a= 374 ,b= 264  
n=   2 ,cnt=   9 ,A=    1562 ,B=    2209 :
n=   2 ,cnt=  10 ,A=    4348 ,B=    6149 :
n=   2 ,cnt=  11 ,A=    9104 ,B=   12875 : found=   5 ,a=4553 ,b=3219  
n=   2 ,cnt=  12 ,A=   25342 ,B=   35839 : found=   6 ,a=12672 ,b=8960  
n=   2 ,cnt=  13 ,A=   53062 ,B=   75041 :
n=   2 ,cnt=  14 ,A=  147704 ,B=  208885 :
n=   2 ,cnt=  15 ,A=  309268 ,B=  437371 : found=   7 ,a=154635 ,b=109343  
n=   2 ,cnt=  16 ,A=  860882 ,B= 1217471 : found=   8 ,a=430442 ,b=304368  
n=   2 ,cnt=  17 ,A= 1802546 ,B= 2549185 :
n=   2 ,cnt=  18 ,A= 5017588 ,B= 7095941 :
n=   2 ,cnt=  19 ,A=10506008 ,B=14857739 : found=   9 ,a=5253005 ,b=3714435  
n=   2 ,cnt=  20 ,A=29244646 ,B=41358175 : found=  10 ,a=14622324 ,b=10339544  
n=   2 ,cnt=  21 ,A=61233502 ,B=86597249 :


n= 333 ,cnt=   1 ,A=     333 ,B=       1 :
n= 333 ,cnt=   2 ,A=     335 ,B=     667 :
n= 333 ,cnt=   3 ,A=     547 ,B=    7919 :
n= 333 ,cnt=   4 ,A=     598 ,B=    9064 :
n= 333 ,cnt=   5 ,A=    7398 ,B=  134864 :
n= 333 ,cnt=   6 ,A=    8255 ,B=  150517 :
n= 333 ,cnt=   7 ,A=   21787 ,B=  397529 :
n= 333 ,cnt=   8 ,A=   24305 ,B=  443483 :
n= 333 ,cnt=   9 ,A=   24313 ,B=  443629 :
n= 333 ,cnt=  10 ,A=   27123 ,B=  494911 :
n= 333 ,cnt=  11 ,A=   71607 ,B= 1306691 : found=   1 ,a=35970 ,b=1962 基本解
n= 333 ,cnt=  12 ,A=   79910 ,B= 1458208 :
n= 333 ,cnt=  13 ,A= 1079510 ,B=19699208 :
n= 333 ,cnt=  14 ,A= 1204683 ,B=21983401 :
n= 333 ,cnt=  15 ,A= 3180567 ,B=58039901 : found=   2 ,a=1590450 ,b=87147  
n= 333 ,cnt=  16 ,A= 3548197 ,B=64748519 : found=   3 ,a=1774265 ,b=97220  
n= 333 ,cnt=  17 ,A= 3549365 ,B=64769833 :
n= 333 ,cnt=  18 ,A= 3959623 ,B=72256339 :

northwolves

目测已经是15年前的问题了，顶大家一下。

王守恩

northwolves 发表于 2023-3-11 21:55
目测已经是15年前的问题了，顶大家一下。

OEIS-A290332，OEIS-A290333,

王守恩

战战兢兢的问：

OEIS-A290332: \(\frac{j^2+k}{j+k^2}=n\) 说得是 j 的公式，我会用“2017年8月16日”，

OEIS-A290333: \(\frac{j^2+k}{j+k^2}=n\) 说得是 k 的公式，没有“2017年8月16日”,

因为 k 比 j 还是小一些，可以有 k 的“2017年8月16日”吗？

northwolves

因为 k 比 j 还是小一些，可以有 k 的“2017年8月16日”吗？
------------------------------------------------------------------
???