任意自然数

northwolves

辛苦了. 出了两道题目: http://blog.csdn.net/northwolves/archive/2010/01/03/5124287.aspx

mathe

有没有简单的算法直接取得一组解使得b最小? northwolves 发表于 2010-1-3 12:20

可以的,Pell方程是可以找出通解的,只是通常情况,通解不只有一组,我们需要列出所有的通解,然后找出其中可以使b最小的解

dlpg070

mathe 发表于 2009-12-25 10:25
上面方程可以变化为:
$n*(2a-n)^2-(2n*b-1)^2=n^3-1$
由于我们知道方程

回复mathe：
我是新手，特别喜欢此题
是证明了吗？
好像最后给出的必要条件，并没有证明，
给出的Xt Yt是整数解，但 a，b多数是实数，不是正整数
请指点迷津

dlpg070

dlpg070 发表于 2018-12-10 12:37
回复mathe：
我是新手，特别喜欢此题
是证明了吗？

我把全部证明都看过了，
甚至验证了n是奇数平方和偶数平方的公式，
公式正确，但不一定是 (a b) 最小的第一组解
对于n不是平方数的一般情形你认为简单，我却只能搜索求解没有通解
对于你的结论我认同。

n*(2a-n)^2-(2n*b-1)^2=n^3-1  右侧不是 1或 -1 而是 n^3-1
此问题类似PELL方程，但不是PELL方程
但用PELL方程证明，我不理解,请指出用 PELL方程的合理性
我是外行，已经半个多世纪没有接触数学论证，莫笑。

mathe

是的，不包含所有解。x^2-Dy^2=b在b>sqrt(D)时解系不唯一，应该需要计算机先穷举O(sqrt(b))范围内所有解

dlpg070

mathe 发表于 2018-12-10 21:51
是的，不包含所有解。x^2-Dy^2=b在b>sqrt(D)时解系不唯一，应该需要计算机先穷举O(sqrt(b))范围内所有解

谢回复
我理解此题：
n=1 有唯一i组解  a=b=1
n>1 有多组解
但尚不能完美的理论证明，对吗？
如果需要，我可以提供一些多组解的计算实例

mathe

https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=9581

dlpg070

dlpg070 发表于 2018-12-11 09:15
谢回复
我理解此题：
n=1 有唯一i组解  a=b=1

回复王守恩：
下面是几分钟前刚刚计算的最新数据
搜b算a公式： a= (n+√(n^2+4*b*(n*b-1)))/2
说明：
n=1 唯一解
n=2,n=3 有频繁出现的多组解
n=4 第二组解，还没有找到，加大b的搜索范围会找到的
正在找 n=4的其它解

cnt=   0 ,n=   1 ,a=   1  ,b=   1
cnt=   1 ,n=   2 ,a=   5 ,b=   3
cnt=   2 ,n=   2 ,a=  12 ,b=   8
cnt=   3 ,n=   2 ,a= 135 ,b=  95
cnt=   4 ,n=   2 ,a= 374 ,b= 264
cnt=   5 ,n=   2 ,a=4553 ,b=3219
cnt=   6 ,n=   2 ,a=12672 ,b=8960
cnt=   7 ,n=   2 ,a=154635 ,b=109343
cnt=   8 ,n=   2 ,a=430442 ,b=304368
cnt=   9 ,n=   3 ,a=   5 ,b=   2
cnt=  10 ,n=   3 ,a=  10 ,b=   5
cnt=  11 ,n=   3 ,a=  48 ,b=  27
cnt=  12 ,n=   3 ,a= 119 ,b=  68
cnt=  13 ,n=   3 ,a= 649 ,b= 374
cnt=  14 ,n=   3 ,a=1638 ,b= 945
cnt=  15 ,n=   3 ,a=9020 ,b=5207
cnt=  16 ,n=   3 ,a=22795 ,b=13160
cnt=  17 ,n=   3 ,a=125613 ,b=72522
cnt=  18 ,n=   3 ,a=317474 ,b=183293
cnt=  19 ,n=   4 ,a=  10 ,b=   4
cnt=  20 ,n=   5 ,a=  27 ,b=  11
cnt=  21 ,n=   5 ,a=  56 ,b=  24
cnt=  22 ,n=   5 ,a= 170 ,b=  75
cnt=  23 ,n=   5 ,a= 369 ,b= 164
cnt=  24 ,n=   5 ,a=7871 ,b=3519
cnt=  25 ,n=   5 ,a=17220 ,b=7700
cnt=  26 ,n=   5 ,a=53934 ,b=24119
cnt=  27 ,n=   5 ,a=118013 ,b=52776
cnt=  28 ,n=   6 ,a=  69 ,b=  27
cnt=  29 ,n=   6 ,a= 140 ,b=  56
cnt=  30 ,n=   6 ,a=6467 ,b=2639
cnt=  31 ,n=   6 ,a=13426 ,b=5480
cnt=  32 ,n=   6 ,a=633409 ,b=258587
cnt=  33 ,n=   6 ,a=1315320 ,b=536976
cnt=  34 ,n=   7 ,a=  12 ,b=   3
cnt=  35 ,n=   7 ,a=  17 ,b=   5
cnt=  36 ,n=   7 ,a=  30 ,b=  10
cnt=  37 ,n=   7 ,a= 133 ,b=  49
cnt=  38 ,n=   7 ,a= 215 ,b=  80
cnt=  39 ,n=   7 ,a= 424 ,b= 159
cnt=  40 ,n=   7 ,a=2067 ,b= 780
cnt=  41 ,n=   7 ,a=3374 ,b=1274
cnt=  42 ,n=   7 ,a=6705 ,b=2533
cnt=  43 ,n=   7 ,a=32890 ,b=12430
cnt=  44 ,n=   7 ,a=53720 ,b=20303
cnt=  45 ,n=   7 ,a=106807 ,b=40368
cnt=  46 ,n=   7 ,a=524124 ,b=198099
cnt=  47 ,n=   7 ,a=856097 ,b=323573
cnt=  48 ,n=   7 ,a=1702158 ,b=643354
cnt=  49 ,n=   8 ,a=  38 ,b=  12
cnt=  50 ,n=   8 ,a=  69 ,b=  23
cnt=  51 ,n=   8 ,a=1155 ,b= 407
cnt=  52 ,n=   8 ,a=2210 ,b= 780
cnt=  53 ,n=   8 ,a=39104 ,b=13824
cnt=  54 ,n=   8 ,a=74943 ,b=26495
cnt=  55 ,n=   8 ,a=1328253 ,b=469607
cnt=  56 ,n=   8 ,a=2545724 ,b=900048
cnt=  57 ,n=   9 ,a=  20 ,b=   5
cnt=  58 ,n=  10 ,a= 103 ,b=  31
cnt=  59 ,n=  10 ,a= 182 ,b=  56
cnt=  60 ,n=  10 ,a=1937 ,b= 611
cnt=  61 ,n=  10 ,a=3496 ,b=1104
cnt=  62 ,n=  10 ,a=141229 ,b=44659
cnt=  63 ,n=  10 ,a=255188 ,b=80696
cnt=  64 ,n=  10 ,a=2785943 ,b=880991
cnt=  65 ,n=  11 ,a=  14 ,b=   2
cnt=  66 ,n=  11 ,a=  26 ,b=   6
cnt=  67 ,n=  11 ,a=  62 ,b=  17
cnt=  68 ,n=  11 ,a= 105 ,b=  30
cnt=  69 ,n=  11 ,a= 221 ,b=  65
cnt=  70 ,n=  11 ,a= 284 ,b=  84
cnt=  71 ,n=  11 ,a= 609 ,b= 182
cnt=  72 ,n=  11 ,a=1070 ,b= 321
cnt=  73 ,n=  11 ,a=2987 ,b= 899
cnt=  74 ,n=  11 ,a=8015 ,b=2415
cnt=  75 ,n=  11 ,a=22439 ,b=6764
cnt=  76 ,n=  11 ,a=39576 ,b=11931
cnt=  77 ,n=  11 ,a=85760 ,b=25856
cnt=  78 ,n=  11 ,a=110837 ,b=33417
cnt=  79 ,n=  11 ,a=240192 ,b=72419
cnt=  80 ,n=  11 ,a=423671 ,b=127740
cnt=  81 ,n=  11 ,a=1186634 ,b=357782
cnt=  82 ,n=  11 ,a=3187766 ,b=961146
cnt=  83 ,n=  12 ,a= 335 ,b=  95
cnt=  84 ,n=  12 ,a= 574 ,b= 164
cnt=  85 ,n=  12 ,a=63825 ,b=18423
cnt=  86 ,n=  12 ,a=110192 ,b=31808
cnt=  87 ,n=  13 ,a=  19 ,b=   3
cnt=  88 ,n=  13 ,a=  43 ,b=  10
cnt=  89 ,n=  13 ,a=  68 ,b=  17
cnt=  90 ,n=  13 ,a= 230 ,b=  62
cnt=  91 ,n=  13 ,a= 385 ,b= 105
cnt=  92 ,n=  13 ,a=1189 ,b= 328
cnt=  93 ,n=  13 ,a=4315 ,b=1195
cnt=  94 ,n=  13 ,a=7304 ,b=2024
cnt=  95 ,n=  13 ,a=140713 ,b=39025
cnt=  96 ,n=  13 ,a=164095 ,b=45510
cnt=  97 ,n=  13 ,a=3163874 ,b=877499
cnt=  98 ,n=  14 ,a=1859 ,b= 495
cnt=  99 ,n=  14 ,a=3090 ,b= 824
cnt= 100 ,n=  14 ,a=1663095 ,b=444479
cnt= 101 ,n=  14 ,a=2768534 ,b=739920
cnt= 102 ,n=  15 ,a= 147 ,b=  36
cnt= 103 ,n=  15 ,a= 236 ,b=  59
cnt= 104 ,n=  15 ,a=8648 ,b=2231
cnt= 105 ,n=  15 ,a=14167 ,b=3656
cnt= 106 ,n=  15 ,a=535579 ,b=138284
cnt= 107 ,n=  15 ,a=877668 ,b=226611
cnt= 108 ,n=  16 ,a=  37 ,b=   7
cnt= 109 ,n=  16 ,a= 264 ,b=  64
cnt= 110 ,n=  17 ,a= 293 ,b=  69
cnt= 111 ,n=  17 ,a= 462 ,b= 110
cnt= 112 ,n=  17 ,a=11450 ,b=2775
cnt= 113 ,n=  17 ,a=18249 ,b=4424
cnt= 114 ,n=  17 ,a=1238445 ,b=300365
cnt= 115 ,n=  17 ,a=1974374 ,b=478854
cnt= 116 ,n=  18 ,a=  44 ,b=   8
cnt= 117 ,n=  18 ,a= 429 ,b=  99
cnt= 118 ,n=  18 ,a=3263 ,b= 767
cnt= 119 ,n=  18 ,a=5134 ,b=1208
cnt= 120 ,n=  18 ,a=39720 ,b=9360
cnt= 121 ,n=  18 ,a=484633 ,b=114227
cnt= 122 ,n=  18 ,a=3755115 ,b=885087
cnt= 123 ,n=  19 ,a=  54 ,b=  10
cnt= 124 ,n=  19 ,a= 184 ,b=  40
cnt= 125 ,n=  19 ,a=1644 ,b= 375
cnt= 126 ,n=  19 ,a=2555 ,b= 584
cnt= 127 ,n=  19 ,a=23870 ,b=5474
cnt= 128 ,n=  19 ,a=37169 ,b=8525
cnt= 129 ,n=  19 ,a=348329 ,b=79910
cnt= 130 ,n=  19 ,a=542470 ,b=124449
cnt= 131 ,n=  20 ,a=1043 ,b= 231
cnt= 132 ,n=  20 ,a=1602 ,b= 356
cnt= 133 ,n=  20 ,a=332625 ,b=74375
cnt= 134 ,n=  20 ,a=512624 ,b=114624
cnt= 135 ,n=  21 ,a=  89 ,b=  17
cnt= 136 ,n=  21 ,a= 130 ,b=  26
cnt= 137 ,n=  21 ,a=41194 ,b=8987
cnt= 138 ,n=  21 ,a=62865 ,b=13716
cnt= 139 ,n=  21 ,a=945437 ,b=206309
cnt= 140 ,n=  21 ,a=1442926 ,b=314870
cnt= 141 ,n=  22 ,a=  50 ,b=   8
cnt= 142 ,n=  22 ,a= 124 ,b=  24
cnt= 143 ,n=  22 ,a= 874 ,b= 184
cnt= 144 ,n=  22 ,a=1207 ,b= 255
cnt= 145 ,n=  22 ,a=17872 ,b=3808
cnt= 146 ,n=  22 ,a=27023 ,b=5759
cnt= 147 ,n=  22 ,a=189499 ,b=40399
cnt= 148 ,n=  22 ,a=559085 ,b=119195
cnt= 149 ,n=  22 ,a=845524 ,b=180264
cnt= 150 ,n=  23 ,a=  38 ,b=   5
cnt= 151 ,n=  23 ,a= 108 ,b=  20
cnt= 152 ,n=  23 ,a= 194 ,b=  38
cnt= 153 ,n=  23 ,a= 285 ,b=  57
cnt= 154 ,n=  23 ,a=1220 ,b= 252
cnt= 155 ,n=  23 ,a=4625 ,b= 962
cnt= 156 ,n=  23 ,a=8759 ,b=1824
cnt= 157 ,n=  23 ,a=13128 ,b=2735
cnt= 158 ,n=  23 ,a=57993 ,b=12090
cnt= 159 ,n=  23 ,a=221363 ,b=46155
cnt= 160 ,n=  23 ,a=419709 ,b=87513
cnt= 161 ,n=  23 ,a=629330 ,b=131222
cnt= 162 ,n=  23 ,a=2781915 ,b=580067
cnt= 163 ,n=  24 ,a= 404 ,b=  80
cnt= 164 ,n=  24 ,a= 595 ,b= 119
cnt= 165 ,n=  24 ,a=38415 ,b=7839
cnt= 166 ,n=  24 ,a=57134 ,b=11660
cnt= 167 ,n=  24 ,a=3763114 ,b=768140
cnt= 168 ,n=  25 ,a=  36 ,b=   4
cnt= 169 ,n=  25 ,a= 143 ,b=  26
cnt= 170 ,n=  26 ,a=  33 ,b=   3
cnt= 171 ,n=  26 ,a= 258 ,b=  48
cnt= 172 ,n=  26 ,a= 681 ,b= 131
cnt= 173 ,n=  26 ,a= 992 ,b= 192
cnt= 174 ,n=  26 ,a=45797 ,b=8979
cnt= 175 ,n=  26 ,a=67116 ,b=13160
cnt= 176 ,n=  26 ,a=183083 ,b=35903
cnt= 177 ,n=  26 ,a=2546708 ,b=499448
cnt= 178 ,n=  27 ,a= 367 ,b=  68
cnt= 179 ,n=  27 ,a= 528 ,b=  99
cnt= 180 ,n=  27 ,a=12453 ,b=2394
cnt= 181 ,n=  27 ,a=18122 ,b=3485
cnt= 182 ,n=  27 ,a=954822 ,b=183753
cnt= 183 ,n=  27 ,a=1389953 ,b=267494
cnt= 184 ,n=  28 ,a= 263 ,b=  47
cnt= 185 ,n=  28 ,a= 374 ,b=  68
cnt= 186 ,n=  28 ,a=18640 ,b=3520
cnt= 187 ,n=  28 ,a=310133 ,b=58607
cnt= 188 ,n=  28 ,a=448564 ,b=84768
cnt= 189 ,n=  29 ,a=  45 ,b=   5
cnt= 190 ,n=  29 ,a=  65 ,b=   9
cnt= 191 ,n=  29 ,a= 930 ,b= 170
cnt= 192 ,n=  29 ,a=1140 ,b= 209
cnt= 193 ,n=  29 ,a=20855 ,b=3870
cnt= 194 ,n=  29 ,a=35955 ,b=6674
cnt= 195 ,n=  29 ,a=143039 ,b=26559
cnt= 196 ,n=  29 ,a=205620 ,b=38180
cnt= 197 ,n=  29 ,a=665540 ,b=123585
cnt= 198 ,n=  29 ,a=2648460 ,b=491804
cnt= 199 ,n=  29 ,a=3807299 ,b=706995
cnt= 200 ,n=  30 ,a=  77 ,b=  11
cnt= 201 ,n=  30 ,a= 322 ,b=  56
cnt= 202 ,n=  30 ,a=2529 ,b= 459
cnt= 203 ,n=  30 ,a=3608 ,b= 656
cnt= 204 ,n=  30 ,a=29455 ,b=5375
cnt= 205 ,n=  30 ,a=147900 ,b=27000
cnt= 206 ,n=  30 ,a=1211747 ,b=221231
cnt= 207 ,n=  30 ,a=1731826 ,b=316184
cnt= 208 ,n=  31 ,a=  84 ,b=  12
cnt= 209 ,n=  31 ,a= 161 ,b=  26
cnt= 210 ,n=  31 ,a= 222 ,b=  37
cnt= 211 ,n=  31 ,a=1825 ,b= 325
cnt= 212 ,n=  31 ,a=16496 ,b=2960
cnt= 213 ,n=  31 ,a=23439 ,b=4207
cnt= 214 ,n=  31 ,a=205555 ,b=36916
cnt= 215 ,n=  31 ,a=441077 ,b=79217
cnt= 216 ,n=  31 ,a=626890 ,b=112590
cnt= 217 ,n=  31 ,a=5500794 ,b=987969
cnt= 218 ,n=  32 ,a= 147 ,b=  23
cnt= 219 ,n=  32 ,a= 825 ,b= 143
cnt= 220 ,n=  32 ,a=6510 ,b=1148
cnt= 221 ,n=  32 ,a=9197 ,b=1623
cnt= 222 ,n=  32 ,a=150624 ,b=26624
cnt= 223 ,n=  32 ,a=933510 ,b=165020
cnt= 224 ,n=  33 ,a=12350 ,b=2147
cnt= 225 ,n=  33 ,a=17365 ,b=3020
cnt= 226 ,n=  34 ,a= 129 ,b=  19
cnt= 227 ,n=  34 ,a=29609 ,b=5075
cnt= 228 ,n=  34 ,a=41440 ,b=7104
cnt= 229 ,n=  34 ,a=545415 ,b=93535
cnt= 230 ,n=  35 ,a=  57 ,b=   6
cnt= 231 ,n=  35 ,a= 426 ,b=  69
cnt= 232 ,n=  35 ,a= 905 ,b= 150
cnt= 233 ,n=  35 ,a=1254 ,b= 209
cnt= 234 ,n=  35 ,a=5336 ,b= 899
cnt= 235 ,n=  35 ,a=57995 ,b=9800
cnt= 236 ,n=  35 ,a=126024 ,b=21299
cnt= 237 ,n=  35 ,a=175583 ,b=29676
cnt= 238 ,n=  35 ,a=755205 ,b=127650
cnt= 239 ,n=  36 ,a=1962 ,b= 324
cnt= 240 ,n=  37 ,a=  49 ,b=   4
cnt= 241 ,n=  37 ,a=  82 ,b=  10
cnt= 242 ,n=  37 ,a= 220 ,b=  33
cnt= 243 ,n=  37 ,a= 475 ,b=  75
cnt= 244 ,n=  37 ,a=1375 ,b= 223
cnt= 245 ,n=  37 ,a=1892 ,b= 308
cnt= 246 ,n=  37 ,a=6527 ,b=1070
cnt= 247 ,n=  37 ,a=9982 ,b=1638
cnt= 248 ,n=  37 ,a=26740 ,b=4393
cnt= 249 ,n=  37 ,a=40925 ,b=6725
cnt= 250 ,n=  37 ,a=142130 ,b=23363
cnt= 251 ,n=  37 ,a=196297 ,b=32268
cnt= 252 ,n=  37 ,a=583477 ,b=95920
cnt= 253 ,n=  37 ,a=1324102 ,b=217678
cnt= 254 ,n=  37 ,a=4285720 ,b=704565
cnt= 255 ,n=  38 ,a=37665 ,b=6107
cnt= 256 ,n=  38 ,a=51800 ,b=8400
cnt= 257 ,n=  39 ,a= 109 ,b=  14
cnt= 258 ,n=  39 ,a=3729 ,b= 594
cnt= 259 ,n=  39 ,a=17724 ,b=2835
cnt= 260 ,n=  39 ,a=24275 ,b=3884
cnt= 261 ,n=  39 ,a=220905 ,b=35370
cnt= 262 ,n=  40 ,a= 217 ,b=  31
cnt= 263 ,n=  40 ,a=10544 ,b=1664
cnt= 264 ,n=  40 ,a=14383 ,b=2271
cnt= 265 ,n=  40 ,a=283360 ,b=44800
cnt= 266 ,n=  41 ,a=42185 ,b=6585
cnt= 267 ,n=  41 ,a=57354 ,b=8954
cnt= 268 ,n=  41 ,a=946844 ,b=147869
cnt= 269 ,n=  41 ,a=1287471 ,b=201066
cnt= 270 ,n=  41 ,a=5616015 ,b=877071
cnt= 271 ,n=  42 ,a=5225 ,b= 803
cnt= 272 ,n=  42 ,a=7072 ,b=1088
cnt= 273 ,n=  42 ,a=3507495 ,b=541215
cnt= 274 ,n=  42 ,a=4752374 ,b=733304
cnt= 275 ,n=  43 ,a= 103 ,b=  12
cnt= 276 ,n=  43 ,a= 265 ,b=  37
cnt= 277 ,n=  43 ,a= 350 ,b=  50
cnt= 278 ,n=  43 ,a=2474 ,b= 374
cnt= 279 ,n=  43 ,a=3333 ,b= 505
cnt= 280 ,n=  43 ,a=10074 ,b=1533
cnt= 281 ,n=  43 ,a=75150 ,b=11457
cnt= 282 ,n=  43 ,a=101465 ,b=15470
cnt= 283 ,n=  43 ,a=3107644 ,b=473908
cnt= 284 ,n=  44 ,a=1110 ,b= 164
cnt= 285 ,n=  44 ,a=23895 ,b=3599
cnt= 286 ,n=  44 ,a=1290315 ,b=194519
cnt= 287 ,n=  44 ,a=1736474 ,b=261780
cnt= 288 ,n=  45 ,a= 119 ,b=  14
cnt= 289 ,n=  45 ,a=2196 ,b= 324
cnt= 290 ,n=  45 ,a=18470 ,b=2750
cnt= 291 ,n=  45 ,a=24769 ,b=3689
cnt= 292 ,n=  45 ,a=102128 ,b=15221
cnt= 293 ,n=  45 ,a=210063 ,b=31311
cnt= 294 ,n=  45 ,a=866662 ,b=129191
cnt= 295 ,n=  45 ,a=1162581 ,b=173304
cnt= 296 ,n=  46 ,a= 101 ,b=  11
cnt= 297 ,n=  46 ,a= 566 ,b=  80
cnt= 298 ,n=  46 ,a= 749 ,b= 107
cnt= 299 ,n=  46 ,a=4852 ,b= 712
cnt= 300 ,n=  46 ,a=21801 ,b=3211
cnt= 301 ,n=  46 ,a=34389 ,b=5067
cnt= 302 ,n=  46 ,a=45980 ,b=6776
cnt= 303 ,n=  46 ,a=1378952 ,b=203312
cnt= 304 ,n=  46 ,a=2909907 ,b=429039
cnt= 305 ,n=  47 ,a=  65 ,b=   5
cnt= 306 ,n=  47 ,a= 285 ,b=  38
cnt= 307 ,n=  47 ,a= 867 ,b= 123
cnt= 308 ,n=  47 ,a=1148 ,b= 164
cnt= 309 ,n=  47 ,a=3657 ,b= 530
cnt= 310 ,n=  47 ,a=25074 ,b=3654
cnt= 311 ,n=  47 ,a=80975 ,b=11808
cnt= 312 ,n=  47 ,a=107952 ,b=15743
cnt= 313 ,n=  47 ,a=348798 ,b=50874
cnt= 314 ,n=  47 ,a=2404610 ,b=350745
cnt= 315 ,n=  48 ,a=1770 ,b= 252
cnt= 316 ,n=  48 ,a=2345 ,b= 335
cnt= 317 ,n=  48 ,a=338723 ,b=48887
cnt= 318 ,n=  48 ,a=450274 ,b=64988
cnt= 319 ,n=  49 ,a= 550 ,b=  75
cnt= 320 ,n=  50 ,a=2507 ,b= 351
cnt= 321 ,n=  50 ,a=3306 ,b= 464
cnt= 322 ,n=  50 ,a=369665 ,b=52275
cnt= 323 ,n=  50 ,a=488664 ,b=69104
cnt= 324 ,n=  51 ,a=  88 ,b=   8
cnt= 325 ,n=  51 ,a= 298 ,b=  38
cnt= 326 ,n=  51 ,a=1304 ,b= 179
cnt= 327 ,n=  51 ,a=1711 ,b= 236
cnt= 328 ,n=  51 ,a=96449 ,b=13502
cnt= 329 ,n=  51 ,a=127150 ,b=17801
cnt= 330 ,n=  51 ,a=597713 ,b=83693
cnt= 331 ,n=  51 ,a=2718503 ,b=380663
--------------

dlpg070

一个有趣的现象:
n=16 m=8
按mathe的公式计算得 a= 264 ,b=  64 正确，
但是按b排序是第二租解
cnt= 108 ,n=  16 ,a=  37 ,b=   7
cnt= 109 ,n=  16 ,a= 264 ,b=  64
通常，n=偶数的平方，多组解较少。n=4 最典型



补充内容 (2018-12-12 21:59):
通常，n=正整数的平方，多组解较少。n=4,9,16,25,36,49,---, n=4 最典型

dlpg070

mathe 的证明确实精妙，但距完美还还差一点。
精妙处有3
1  n=(a^2+b)/(a+b^2)   ----（1）
  变形为 广义的pell方程：
  n*A^2-B^2=n^3-1      ---（2）
2 典型的pell方程  n*X^2-Y^2=-1 ---（3）
  与 方程 （2）的解建立对应关系
  证明了方程（2）有多个整数解
3 对于原始题 （1）
  在n=正整数平方的条件下，给出一组解
  证明（1）至少有一组解
不完美之处：
  在n 不等于正整数平方的条件下。
  不能确定（1）至少有一组正整数解（a,b)

下面验算他的例子，能说明这点
mathe例子：
n=333
1 Y=10657,X=584,        // 利用数学工具求（3）的解，取此数据
2 A=3548197,B=64748519,
3 a=1774265,b=97220   
验算结果：
1（ X= 584, Y=10657 )      是 方程（3）的正整数解 ，
2（ A=3548197,B=64748519 ）是 方程（2）的正整数解
3 (  a=1774265,b=97220   ) 是 方程（1）的正整数解
但是问题在于从 （ X= 584, Y=10657 )
得不到（ A=3548197,B=64748519 ）
也得不到 (  a=1774265,b=97220   )

我的验算结果：   
1由（ X= 584, Y=10657 )  计算得到 (A=3549365 ,B= 64769833)  
  (A=3549365 ,B= 64769833)  确是方程（2）的正整数解
  不是mathe的 （ A=3548197,B=64748519 ）
2由(A=3549365 ,B= 64769833)     计算得到
  a =(A+n )/2 = (3549365+333) /2 = 1774849
  b = (B+1)/(2*n) = (64769833+1)/(2*333) = 97252.003003003003003003003003003
  计算无误，得到非整数解(a,b)
已经多种方法反复验算，没有发现计算错误，qin如有错误请指正。
结果表明，确保得到（A，B）整数解，不能确保得到整数解（a，b）