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数学研发论坛»论坛 › 【数学研究】 › 趣题妙解 › 任意自然数
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楼主: northwolves

[讨论] 任意自然数

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mathe
发表于 2018-12-14 13:38:46 | 显示全部楼层
看14#的过程，
n=333,解$333u^2-v^2=-1$，可以有u=4,v=73
$Y=2n u^2+1=10657, X=2uv=584$
$A=nY-X=3548197,B=n^2X-Y=64748519$
$a=(n+A)/2=1774265$
$b=(B+1)/(2n)=97220$
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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wayne
发表于 2018-12-14 15:45:27 | 显示全部楼层
其实 根据Brahmagupta恒等式https://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%27s_identity
\[(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}\]
可以由两个三元组$(x_1,y_1,k_1),(x_2,y_2,k_2)$，生成 第三个三元组$(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}, x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})$。
不知道这个是不是就足够了。等有空了再回头 补上过程。

比如,根据$333^3 - 1 = 2^2 * 7 * 83 * 15889$分解因子得到这些情况：
由$(73,4,1), (1,333,1 - 333^3)$得到$(443629, 24313,1 - 333^3)$
由$(19,1,28), (3961,226,\frac{1 - 333^3}{28})$得到$(150517, 8255,1 - 333^3)$
由$(19,1,28), (-3961,226,\frac{1 - 333^3}{28})$得到$(-1, 333,1 - 333^3)$
由$(146, 8,4), (4532, 299,\frac{1 - 333^3}{4})$得到$(1458208, 79910,1 - 333^3)$
由$(146, 8,4), (-4532, 299,\frac{1 - 333^3}{4})$得到$(134864, -7398,1 - 333^3)$
由$(88, 5, -7*83), (859, 45,\frac{1 - 333^3}{-7*83})$得到$(150517, 8255,1 - 333^3)$
由$(88, 5, -7*83), (859, -45,\frac{1 - 333^3}{-7*83})$得到$(667, 335,1 - 333^3)$
================【不再一一枚举了，因为我关心的最小的非平凡的667, 335已经找到了】================
附注：$X^2 - n Y^2 = 1 - n^3,  n=333, 0<X<10^10,0<Y$的解,可以对照上面的解：
  1. {1,333}
  2. {667,335}
  3. {7919,547}
  4. {9064,598}
  5. {134864,7398}
  6. {150517,8255}
  7. {397529,21787}
  8. {443483,24305}
  9. {443629,24313}
  10. {494911,27123}
  11. {1306691,71607}
  12. {1458208,79910}
  13. {19699208,1079510}
  14. {21983401,1204683}
  15. {58039901,3180567}
  16. {64748519,3548197}
  17. {64769833,3549365}
  18. {72256339,3959623}
  19. {190768967,10454075}
  20. {212889304,11666262}
  21. {2875949504,157601062}
  22. {3209426029,175875463}
  23. {8473428017,464340995}
  24. {9452840291,518012457}
  25. {9455951989,518182977}
复制代码
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dlpg070
发表于 2018-12-15 10:36:57 | 显示全部楼层
回复mathe 31#
我找到了我和mathe计算不同的原因了
我是按11#公式计算
A=n*Y+X,            (1) 11# n*u^2-v^2=1有解时
B=n^2*X+Y          (2)
mathe按14#公式计算
A=n*Y-X,            (1) 14# n*u^2-v^2=-1 总有解
B=n^2*X+Y         (2)

11#公式不能保证永远得到整数解(a,b)
14#公式保证n不是平方数时永远得到整数解(a,b)
没有疑问了
虽然不一定找到基本解，但一定能找到多组解
此题完美解决了。

对于 n=4 ，仍没有找到第2组解，我将继续找

点评

mathe
对于给定的n,如果n是完全平方数，应该很好解。因为$nA^2-B^2=n^3-1$,左边是平方差，而可以写成两个数的乘积，将右边也写成两个数乘积即可  发表于 2018-12-15 10:56
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dlpg070
发表于 2018-12-15 13:14:32 | 显示全部楼层
回复mathe :对于给定的n,如果n是完全平方数，应该很好解
mathe已经给出一组解，没疑问
但是 对于这类n 第二组解很难见到，需要很大的b（n=4，9，25,49,---）
我的疑问是 n=4 是否有第二组解,
有肯定的答案吗？
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wayne
发表于 2018-12-15 13:45:12 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2018-12-15 13:14
回复mathe :对于给定的n,如果n是完全平方数，应该很好解
mathe已经给出一组解，没疑问
但是 对于这类n 第 ...


$n=4,  n^3-1 = 63 = 7*9 = 3*21 = 1*63$ 分别代入进去，得到正整数只有$a=10,b=4$ 一组解。
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dlpg070
发表于 2018-12-15 16:15:24 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2018-12-14 15:45
其实 根据Brahmagupta恒等式https://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%27s_identity
\[(x_{1}^{2}-Ny_{1 ...

回复wayne
谢回复
相信你的结论正确
为了更好理解你的算法
请费心分析
n=9
n=16
n=25
n=36
n=49
是否只有唯一解
我估计大多数只有唯一解
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mathe
发表于 2018-12-15 17:14:02 | 显示全部楼层
n=4^2可以有两组解(264,64), (37,7)
n=5^2有a=143,b=26和a=36,b=4
n=9^2有a=1517,b=164和a=101,b=5
n=10^2有a=25050,b=2500和a=1241,b=119和a=114,b=4
n=11^2有a=3416,b=305；a=257,b=17；a=186,b=10；a=150,b=6
n=16^2, a=262272,b=16384;a=4162,b=252
n=19^2, a=31132,b=1629; a=3131,b=155
n=23^2, a=67310,b=2915;a=1090,b=34;a=615,b=10
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dlpg070
发表于 2018-12-15 17:48:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2018-12-15 18:00 编辑

回复wayne：
你的数据，我能验算的全部正确
请补充 n=3^2=9
         n=6^2=36
         n=7^2=49
        n=8^2=64
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mathe
发表于 2018-12-15 18:28:01 来自手机 | 显示全部楼层
唯一解所以没有列出

点评

dlpg070
明白。 谢  发表于 2018-12-15 20:00
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wayne
发表于 2018-12-15 20:33:04 | 显示全部楼层
我来把37# mathe的数据扩充一下
  1. Table[{Sqrt[n]^HoldForm[2],
  2.    Select[Table[{((k + (n^3 - 1)/k)/(2 Sqrt[n]) + n)/
  3.       2, (((n^3 - 1)/k - k)/2 + 1)/(2 n)}, {k,
  4.       TakeWhile[
  5.        Divisors[n^3 - 1], # < Sqrt[n^3 - 1] &]}], #\[Element] Integers &]}, {n,
  6.    Range[2, 100]^2}] // Column
复制代码

  2. {2^2,{{10,4}}}
  3. {3^2,{{20,5}}}
  4. {4^2,{{264,64},{37,7}}}
  5. {5^2,{{143,26},{36,4}}}
  6. {6^2,{{1962,324}}}
  7. {7^2,{{550,75}}}
  8. {8^2,{{8224,1024}}}
  9. {9^2,{{1517,164},{101,5}}}
  10. {10^2,{{25050,2500},{1241,119},{114,4}}}
  11. {11^2,{{3416,305},{257,17},{186,10},{150,6}}}
  12. {12^2,{{62280,5184}}}
  13. {13^2,{{6715,510}}}
  14. {14^2,{{134554,9604}}}
  15. {15^2,{{11978,791}}}
  16. {16^2,{{262272,16384},{4162,252}}}
  17. {17^2,{{19865,1160}}}
  18. {18^2,{{472554,26244}}}
  19. {19^2,{{31132,1629},{3131,155}}}
  20. {20^2,{{800200,40000}}}
  21. {21^2,{{46631,2210}}}
  22. {22^2,{{1288650,58564}}}
  23. {23^2,{{67310,2915},{1090,34},{615,10}}}
  24. {24^2,{{1990944,82944}}}
  25. {25^2,{{94213,3756},{19690,775}}}
  26. {26^2,{{2970682,114244},{28628,1088},{2831,95},{2138,68}}}
  27. {27^2,{{128480,4745}}}
  28. {28^2,{{4302984,153664}}}
  29. {29^2,{{171347,5894},{2267,62}}}
  30. {30^2,{{6075450,202500},{2627,71}}}
  31. {31^2,{{224146,7215},{21411,675},{4047,114}}}
  32. {32^2,{{8389120,262144}}}
  33. {33^2,{{288305,8720}}}
  34. {34^2,{{11359434,334084}}}
  35. {35^2,{{365348,10421}}}
  36. {36^2,{{15117192,419904},{70311,1935}}}
  37. {37^2,{{456895,12330},{93890,2519},{3185,65}}}
  38. {38^2,{{19809514,521284}}}
  39. {39^2,{{564662,14459}}}
  40. {40^2,{{25600800,640000}}}
  41. {41^2,{{690461,16820}}}
  42. {42^2,{{32673690,777924}}}
  43. {43^2,{{836200,19425},{3069,45}}}
  44. {44^2,{{41230024,937024}}}
  45. {45^2,{{1003883,22286},{16795,350},{3854,59}}}
  46. {46^2,{{51491802,1119364},{44081,935}}}
  47. {47^2,{{1195610,25415},{111795,2355}}}
  48. {48^2,{{63702144,1327104},{133589,2759},{6979,119}}}
  49. {49^2,{{1413577,28824},{47668,948},{8793,153},{5394,82},{2951,26}}}
  50. {50^2,{{78126250,1562500},{260803,5191}}}
  51. {51^2,{{1660076,32525}}}
  52. {52^2,{{95052360,1827904}}}
  53. {53^2,{{1937495,36530}}}
  54. {54^2,{{114792714,2125764}}}
  55. {55^2,{{2248318,40851},{135941,2444}}}
  56. {56^2,{{137684512,2458624},{19947,327},{10609,159}}}
  57. {57^2,{{2595125,45500}}}
  58. {58^2,{{164090874,2829124}}}
  59. {59^2,{{2980592,50489}}}
  60. {60^2,{{194401800,3240000}}}
  61. {61^2,{{3407491,55830}}}
  62. {62^2,{{229035130,3694084}}}
  63. {63^2,{{3878690,61535}}}
  64. {64^2,{{268437504,4194304},{525316,8176},{163277,2519},{8282,92},{5687,47}}}
  65. {65^2,{{4397153,67616},{101260,1525}}}
  66. {66^2,{{313085322,4743684}}}
  67. {67^2,{{4965940,74085}}}
  68. {68^2,{{363485704,5345344},{1333754,19580},{7240,64},{4839,15}}}
  69. {69^2,{{5588207,80954}}}
  70. {70^2,{{420177450,6002500}}}
  71. {71^2,{{6267206,88235}}}
  72. {72^2,{{483732000,6718464}}}
  73. {73^2,{{7006285,95940}}}
  74. {74^2,{{554754394,7496644}}}
  75. {75^2,{{7808888,104081}}}
  76. {76^2,{{633884232,8340544}}}
  77. {77^2,{{8678555,112670}}}
  78. {78^2,{{721796634,9253764}}}
  79. {79^2,{{9618922,121719},{78630,955}}}
  80. {80^2,{{819203200,10240000}}}
  81. {81^2,{{10633721,131240},{1197387,14742}}}
  82. {82^2,{{926852970,11303044},{1414094,17204}}}
  83. {83^2,{{11726780,141245}}}
  84. {84^2,{{1045533384,12446784}}}
  85. {85^2,{{12902023,151746}}}
  86. {86^2,{{1176071242,13675204}}}
  87. {87^2,{{14163470,162755},{626194,7154}}}
  88. {88^2,{{1319333664,14992384}}}
  89. {89^2,{{15515237,174284},{38100,381}}}
  90. {90^2,{{1476229050,16402500}}}
  91. {91^2,{{16961536,186345}}}
  92. {92^2,{{1647708040,17909824}}}
  93. {93^2,{{18506675,198950},{31639,290}}}
  94. {94^2,{{1834764474,19518724},{654819,6919},{64740,640}}}
  95. {95^2,{{20155058,212111}}}
  96. {96^2,{{2038436352,21233664}}}
  97. {97^2,{{21911185,225840},{767624,7865}}}
  98. {98^2,{{2259806794,23059204}}}
  99. {99^2,{{23779652,240149}}}
  100. {100^2,{{2500005000,25000000},{2502505,24975}}}

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