任意自然数

mathe

现在n不是平方数好处理。
这时由于Pell方程$n*u^2-v^2=1$必然有无穷多正整数解，(此处有误，参考14#)
取$Y=2*n*u^2-1=2*v^2+1,X=2*u*v,A=n*Y+X,B=n^2*X+Y$
于是$A+n=2(u^2n^2+uv),B+1=2n(uvn+u^2)$所以满足条件

mathe

如果n是奇数m的平方
那么取$a={(m-1)(m^2+1)m}/4+{m^2+1}/2,b={(m-1)(m^2+1)}/4$即可

mathe

如果n是偶数m的平方，可以取
$a={m^5+2m^2}/4,b={m^4}/4$
前面一直没有想到因子分解后一个因子可以为1，竟然没有找到这种情况。

mathe

11#还有一个问题，Pell方程$n u^2-v^2=1$不一定总是有解，但是$n u^2-v^2=-1$总是有解
不过这时我们在取$Y=2n u^2+1=2v^2-1,X=2uv$后，可以选择
$A=nY-X,B=n^2X-Y$,从而$B+1=n^2*2uv-2n u^2=2n(n uv-u^2),A+n=n(Y+1)-X=2(n^2u^2+1-uv)$
而由于$nX^2-Y^2=-1$,对于充分大的X,Y,$nY>Y>X,n^2X>nX>Y$,所以A,B都是正整数。

mathe

现在以n=333为例子，使用medie2005提供的链接http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... fromuid=20#pid11403
$333u^2-v^2=1$无解，但是$333u^2-v^2=-1$有解
$(0,1),(4,73),...$
于是取Y=10657,X=584,A=3548197,B=64748519,a=1774265,b=97220
而这个方法对于n=332得出解为a=60022916702,b=3294185508

northwolves

学习理解中

wayne

KeyTo9很心细阿，这主题的时间戳我才发现~~

northwolves

KeyTo9很心细阿，这主题的时间戳我才发现~~
wayne 发表于 2010-1-3 11:45

谢谢各位了,我都几乎忘了这道题目了

northwolves

有没有简单的算法直接取得一组解使得b最小?

KeyTo9_Fans

根据6楼给出的推导：

=> n(a + b^2) = a^2 + b => a^2 - na +b - nb^2 = 0
=> (n^2 - 4(b - nb^2)) = k^2
无心人 发表于 2009-12-25 08:12

得到

$n^2-4(b-nb^2)=k^2 -> 4nb^2-4b+n^2=k^2$

所以我企图通过此贴的解答……

http://bbs.emath.ac.cn/thread-2044-1-1.html

……找到普遍的规律……

……然后把$a=4n$、$b=-4$、$c=n^2$套进去……

……得到楼上提出的问题的答案。

当然，上述途径可能绕远路了，肯定有捷径的。

我那样走只是想多看看路边的风景罢了。