一道平面几何最值问题

gxqcn · 发表于 2017-5-10 11:18:59

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如图，在 \(\triangle AOB\) 中，\(OA=6\)，\(OB=8\)，\(\angle AOB=90\degree\)，半径为 \(4\) 的 \(\odot O\) 上有一个动点 \(D\)，连结 \(AD\)、\(BD\)，
则 \(\left(AD +\dfrac{1}{2}BD\right)\) 的最小值是________

gxqcn · 发表于 2017-5-10 11:22:02

答案是 \(2\sqrt{10}\)，请大家试着解答一下，看难度大不？

我过两天给过程（不是我做出来的）。

mathematica · 发表于 2017-5-10 12:50:20

gxqcn 发表于 2017-5-10 11:22
答案是 \(2\sqrt{10}\)，请大家试着解答一下，看难度大不？

我过两天给过程（不是我做出来的）。

(*一道最值平面几何题*)
(*http://bbs.emath.ac.cn/thread-9497-1-1.html*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
FullSimplify@Minimize[{Sqrt[(x-6)^2+y^2]+Sqrt[x^2+(y-8)^2]/2,x^2+y^2==16},{x,y}]

复制代码

难度当然不大,拉格朗日乘子法就可以解决了
运算结果
\[\left\{2 \sqrt{10},\left\{x\to \frac{3}{5} \left(\sqrt{31}+1\right),y\to \frac{1}{5} \left(9-\sqrt{31}\right)\right\}\right\}\]

gxqcn · 发表于 2017-5-10 12:59:54

这是初中数学试卷上的一道填空题，
如果要求用他们能理解的知识去解答，你会怎么做？

mathematica · 发表于 2017-5-10 13:10:28

gxqcn 发表于 2017-5-10 12:59
这是初中数学试卷上的一道填空题，
如果要求用他们能理解的知识去解答，你会怎么做？

Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
fun=Sqrt[(x-6)^2+y^2]+Sqrt[x^2+(y-8)^2]/2+z*(x^2+y^2-16)
funx=D[fun,x]
funy=D[fun,y]
funz=D[fun,z]
Solve[{funx==0,funy==0,funz==0},{x,y,z},Reals]

复制代码

你要就拿去吧,求倒数,解方程组

mathematica · 发表于 2017-5-10 13:25:26

在B点放一个质量是1的物体,在A点放一个质量是2的物体,
然后....

chyanog · 发表于 2017-5-10 14:15:05

mathematica · 发表于 2017-5-10 17:19:44

chyanog 发表于 2017-5-10 14:15

我比较笨,没看明白,你具体地说两下

mathematica · 发表于 2017-5-10 17:33:10

chyanog 发表于 2017-5-10 14:15

我明白了,你是把B与F看成两个焦点,然后形成了半径为4的圆形,然后AF之间两点线段距离最短!
不过初中没学这玩意,
我觉得直接用软件算也没错!

mathematica · 发表于 2017-5-10 18:14:16

chyanog 发表于 2017-5-10 14:15

请问这题如果转化成问BD+2*AD如何解决?
难道只能以BF两点为焦点?
不能以A为焦点吗?

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