求与对应点主法线平行且与对应点的切向量成定角的曲线

葡萄糖

给定正则参数曲线\(\Gamma_1\)
\[ \Gamma_1:\quad
\begin{cases}
\displaystyle x=\frac{s}{2}-\sin\frac{s}{2}\\
\displaystyle y=1-\cos\frac{s}{2}\\
\displaystyle z=4\sin\frac{s}{4}\\
\end{cases} \]
以及正则参数曲线\(\Gamma_1\)上一个动点\(P\Big(\,x_1(s),y_1(s),z_1(s)\Big)\)
求一条正则曲线\(\Gamma_2\)，该曲线\(\Gamma_2\)过点\(A(\pi,0,0)\)，其上有一动点\(Q\Big(\,x_2(s),y_2(s),z_2(s)\,\Big)\)；
动点\(Q\)初始位置在点\(A\)，当动点\(P\)从原点\(O(0,0,0)\)开始运动时，动点\(Q\)也随之运动，使得动点\(P\)每一处的主法线与动点\(Q\)经过相应运动所在对应点处的主法线平行；
其中要求对应点处的切向量互成夹角为\(\frac{\pi}{3}\)。
【问题由来】：
其中有推论表明：两条曲线上的点建立了一一对应的对应关系，若两条曲线对应点处的主法线互相平行，他们对应点处的切线互成定角。
但是这个定理没有给出另一条曲线是如何求解的。（在一条曲线给定、另一条曲线过定点且对应点切线所成已知定角的情况下）

葡萄糖

\[\Gamma_1:\quad
\begin{cases}
\displaystyle x=\frac{s}{2}-\sin\frac{s}{2}\\
\displaystyle y=1-\cos\frac{s}{2}\\
\displaystyle z=4\sin\frac{s}{4}\\
\end{cases}\]
葡萄糖  发表于 2018-9-24 00:16

正则参数曲线\(\Gamma_1\)以自然参数表示的位置向量 \(\boldsymbol{r}_1(s) \)
\[ \boldsymbol{r}_1(s)=\left(\frac{s}{2}-\sin\frac{s}{2},\,1-\cos\frac{s}{2},\,4\sin\frac{s}{4}\right) \]
正则参数曲线\(\Gamma_1\)的单位切向量 \(\boldsymbol{\alpha}_1(s)=\dot{\boldsymbol{r}}_1(s)\)
\[ \boldsymbol{\alpha}_1(s)=\left(\sin^2\frac{s}{4},\,\frac{1}{2}\sin\frac{s}{2},\,\cos\frac{s}{4}\right) \]
正则参数曲线\(\Gamma_1\)的单位切向量对弧长参数的微商 \(\dot{\boldsymbol{\alpha}}_1(s)=\ddot{\boldsymbol{r}}_1(s)=\kappa_1(s)\boldsymbol{\beta}_1(s)\)
\[ \dot{\boldsymbol{\alpha}}_1(s)=\frac{1}{4}\left(\sin\frac{s}{2},\,\cos\frac{s}{2},\,{\color{red}{-}}\sin\frac{s}{4}\right) \]
正则参数曲线\(\Gamma_1\)以自然参数表示的曲率 \(\kappa_1(s)=|\dot{\boldsymbol{\alpha}}_1(s)|=|\ddot{\boldsymbol{r}}_1(s)|\)
\[ |\dot{\boldsymbol{\alpha}}_1(s)|=\frac{\sqrt{3-\cos\frac{s}{2}}}{4\sqrt2} \]
正则参数曲线\(\Gamma_1\)的主法向量 \(\displaystyle\boldsymbol{\beta}_1(s)=\frac{\dot{\boldsymbol{\alpha}}_1(s)}{|\dot{\boldsymbol{\alpha}}_1(s)|}=\frac{\ddot{\boldsymbol{r}}_1(s)}{|\ddot{\boldsymbol{r}}_1(s)|}\)
\[ \boldsymbol{\beta}_1(s)=\frac{\sqrt2}{\sqrt{3-\cos\frac{s}{2}}}\left(\sin\frac{s}{2},\,\cos\frac{s}{2},\,-\sin\frac{s}{4}\right) \]
上面的结果可以利用Wolfram Mathematica验证，代码如下：

1. FrenetSerretSystem[{s/2 - Sin[s/2], 1 - Cos[s/2], 4 Sin[s/4]}, s] // FullSimplify

复制代码

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设正则参数曲线\(\Gamma_2\)的单位切向量\(\boldsymbol{\alpha}_2(s)=\dot{\boldsymbol{r}}_2(s)\)
\[\boldsymbol{\alpha}_2(s)=\Big(u(s),\,v(s),\,w(s)\Big)\]
由于该切向量为单位向量，故满足\([u(s)]^2+[v(s)]^2+[w(s)]^2=1\)
设正则参数曲线\(\Gamma_2\)的单位切向量对弧长参数的微商 \(\dot{\boldsymbol{\alpha}}_2(s)=\ddot{\boldsymbol{r}}_2(s)=\kappa_2(s)\boldsymbol{\beta}_2(s)\)
\[ \dot{\boldsymbol{\alpha}}_2(s)=\Big(u'(s),\,v'(s),\,w'(s)\Big) \]
①由题干知对应点处的切向量互成\(\frac{\pi}{3}\)的夹角
于是得到一个不含微分表达式的方程：
\begin{align*}
\boldsymbol{\alpha}_1(s)\!\cdot\!\boldsymbol{\alpha}_2(s)&=|\boldsymbol{\alpha}_1(s)|\!\cdot\!|\boldsymbol{\alpha}_2(s)|\cos\big\langle\boldsymbol{\alpha}_1(s),\boldsymbol{\alpha}_2(s)\big\rangle\\
\Rightarrow\begin{pmatrix}
\displaystyle\sin^2\frac{s}{4}&\displaystyle\frac{1}{2}\sin\frac{s}{2}&\displaystyle \cos\frac{s}{4}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\displaystyle u(s)\\
\displaystyle v(s)\\
\displaystyle w(s)
\end{pmatrix}&=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\\
\Rightarrow u(s)\sin^2\frac{s}{4}+\frac{1}{2}v(s)\sin\frac{s}{2}+w(s)\cos\frac{s}{4}&=\frac{1}{2}\\
\end{align*}
②由题干知对应点处的主法线平行，即\(\dot{\boldsymbol{\alpha}}_1(s)\)与\(\dot{\boldsymbol{\alpha}}_2(s)\)线性相关
于是得到由两个方程构成的方程组（其中含微分表达式）：
\begin{cases}
\displaystyle \frac{u'(s)}{\sin\frac{s}{2}}=\frac{v'(s)}{\cos\frac{s}{2}}\\
\displaystyle \frac{u'(s)}{\sin\frac{s}{2}}=\frac{w'(s)}{-\sin\frac{s}{4}}\\
\end{cases}
另外，根据曲线\(\Gamma_1\)初始位置\(O(0,0,0)\)的单位切向量 \(\boldsymbol{\alpha}_1(0)=(0,\,0,\,1)\)以及主法向量 \(\boldsymbol{\beta}_1(0)=(0,\,1,\,0)\)，
可以确定曲线\(\Gamma_2\)在初始位置\(A(\pi,0,0)\)的单位切向量\(\boldsymbol{\alpha}_2(0)=\Big(u(0),\,v(0),\,w(0)\Big)\)，于是就得到该单位切向量\(z\)方向分量\(w(s)\)的初始条件\(w(0)=\frac{1}{2}\)
曲线\(\Gamma_2\)在初始位置\(A(\pi,0,0)\)的主法向量 \(\boldsymbol{\beta}_2(0)=\boldsymbol{\beta}_1(0)=(0,\,1,\,0)\)，于是就得到该单位切向量在\(xOz\)平面上，从而单位切向量\(x\)方向分量\(u(s)\)的初始条件\(u(0)=\pm\frac{\sqrt3}{2}\)
因此，曲线\(\Gamma_2\)在初始位置\(A(\pi,0,0)\)的单位切向量\(\boldsymbol{\alpha}_2(0)=\Big(\pm\frac{\sqrt3}{2},\,0,\,\frac{1}{2}\Big)\)
所以，得出一组初始条件：
\begin{cases}
u(0)=\pm\frac{\sqrt3}{2}\\
v(0)=0\\
w(0)=\frac{1}{2}\\
u'(0)=0\\
v'(0)=k\\
w'(0)=0\\
\end{cases}
Reference:
https://arxiv.org/vc/arxiv/papers/1010/1010.3555v3.pdf
http://bmathaa.org/repository/docs/BMAA9-2-3.pdf
https://math.stackexchange.com/q ... -of-bertrand-curves
http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf