一道不等式题

葡萄糖

已知函数 \( f(x)=2x-x^2 \)，函数 \( g(x)=\sin\left(\dfrac{πx}{2}\right) \)，证明：

• 当 \( x \in [0,2 \)] 时，\( f(x) \geqslant g(x) \)
• 当 \( x \in [0,2 \)] 时，\( f(x) \leqslant \sqrt{g(x)} \)
• 当 \( x \in [0,2 \)] 时，\( \sqrt{f(x)} \leqslant g\left(\sqrt{x}\right) \)
  

葡萄糖

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Lwins_G

我来抛砖引玉吧：

第一问相当于证明当`-1 \leq x \leq 1`时
\[ f(x) \triangleq 1 - x^2 - \cos \left( \frac{\pi}{2} x\right) \geq 0. \]
当然，只需证明上式在`x \in [0,1]`时成立即可。

我们来考察`f'(x)`，易知
\[f'(x) = \frac{\pi}{2} \sin \left( \frac{\pi}{2} x\right) - 2x.\]
不难证明，当`x \in \left[0, \frac{3}{4}\right]`时`f'(x) \geq 0`，而当`x \in \left[\frac{3}{4},1\right]`时`f'(x) \leq 0`。

再结合`f(0)=f(1)=0`即可证得。

wayne

Lwins_G 发表于 2014-1-22 19:10
我来抛砖引玉吧：

余弦可以用倍角公式展开，问题即是证明：
\[f(x) \triangleq 2\sin^2\left( \frac{\pi x}{4}\right) -x^2 \geq 0\]
由于相减的这两个 起始点都一样，但一个是凸的正弦函数，一个是直线。所以恒大于等于0

我做了一个图：

葡萄糖

葡萄糖 发表于 2014-1-22 12:17
已知函数$f(x)=2x-x^2$,函数$g(x)=sin(\frac{πx}{2})$，证明：
ⅰ.当$x∈[0,2]$时，\(f(x) \geqslant g(x)\)
ⅱ. 当$x∈[0,2]$时，\(f(x) \leqslant \sqrt{g(x)}\)
ⅲ. 当$x∈[0,2]$时，\(\sqrt{f(x)}\leqslant g(\sqrt{x})\)

Lwins_G 发表于 2014-1-22 19:21
也许，这道题的本质会和Chebyshev多项式有一定关系。

这个题与本征函数有什么样的联系？

《矩阵论札记》P184