虹吸管中水的流速

dlsh

将一根细虹吸管插入鱼缸至接近底部来排污，求管顶和出口的流速。
假定不考虑粘滞阻力，需要如何设定条件，关注哪些参数？
据说在真空中不能产生虹吸效应，那么流速会与大气压有关吗？

hujunhua

大气压上下抵消，所以流速与大气压无关。
大气压只是起到保持虹吸管中液面以上水柱的作用，不提供动力。
在真空中，虹吸管中即使注满水，水柱也会自管顶向两边分别流下，因为管口没有气压托住。

kastin

流动在短时间内为定常流，重力是有势力（保守力），并且水近似是不可压的，假设管截面大小不变，且流动为层流，若忽略粘性以及管口处的能量损失，沿着流管有伯努利方程成立。也就是说，无粘不可压流体在重力作用下的定常流动，有机械能守恒——单位质量流体的动能+重力势能+压能=常数（沿着一根流线）。用公式来表示就是 `v^2/2+gz+\frac{p}{\rho}=C`.

考虑虹吸管两端出口都位于液面的瞬间，设管顶高度为 `H`，流速为 `v`，压力为`p`，鱼缸底部流速为零，压力为 `\rho g h`（h为鱼缸水深）， 以下方出口液面高度为零势面，出口速度为 `v_{out}`，出口压力为零。于是有 `0^2/2+g(h_1-h)+\rho g h/\rho=v^2/2+gH+p/\rho=v_o^2/2+0+0`，解得 `v_o=\sqrt{2gh_1}`，`v=\sqrt{2g(h_1-H)-2p/\rho}`.

物理意义很清晰，液面高度差`h_1`为正，才能产生虹吸，这个高度差的压能和重力势能一起提供了流体动能所需的能量。至于管顶的速度，需要知道压力才行，因此还需要一个方程。

真空的情况，自然是真空那一端吸力大，两边都是真空，那么结果和有大气压的情况一样(只要重力仍存在)。因为上面的伯努利方程是欧拉微分方程沿流线的积分曲线而已，欧拉微分方程中的量都是`dp,d(u^2/2),gdz`这几个量的和为零，所以只要满足最上面那些假设条件，那么流速跟大气压无关，只跟压力差、高度差有关。这就是说，流动状态、粘性、管子截面的形状、入口和出口有无截面突变本质上是会产生一定影响的，这些影响只能通过实验来测定等效的系数来修正上面的伯努利方程。

dlsh

谢谢上楼老师，你说的管顶高度大概指距离液面的距离？
版主少量修改了原贴，更接近于百度文库的一道题。


这里的P0指大气压？大气压约10.3米水柱，所以h1≤10.3m？根据两位老师的观点，只要有压力差，人为抽出水来，堵住再放开,h1超过10.3m水也可以持续流出？VC如何计算？

kastin

dlsh 发表于 2019-12-15 20:49
谢谢上楼老师，你说的管顶高度大概指距离液面的距离？
版主少量修改了原贴，更接近于百度文库的一道题。
...

图无法缓冲出来，建议自己截图后压缩图片质量后（保证清晰度）再上传，不要用外链。

总之记住机械能守恒就行。比如不用嘴吸，用管子放水的方法的这个视频：教你用管子这样抽水，简单又实用，这手法一学就会！

dlsh

谢谢老师，谢谢您发的链接，增长了知识。感觉水没有外部动力向上流，违背了机械能守恒定律，应该是大气压提供。

kastin

dlsh 发表于 2019-12-16 12:55
谢谢老师，谢谢您发的链接，增长了知识。感觉水没有外部动力向上流，违背了机械能守恒定律，应该是大气压提 ...

文库中的图和1楼中的图差不多，管顶高度处的压力（压强）为负（这里指的是相对于大气压而言）。根据连续性方程，管中质量流量是恒定值，由于截面积不变，故速度乘以密度为常数，但又因为是不可压定常流动，密度在整个流场中都是同一个常数，故管中速度都是一个值，等于出口速度。于是管顶压力就可以算出来等于`-\rho gH`，绝对压力为 `p_0-\rho g H`.

对于最下面这幅图，容器里面有真空，绝对压力为零，外界有大气压，只要 `h_1>10.3`，就能虹吸出来（前提是管子里先充满水），但速度会越来越慢，最终液面降低到`h_1=10.3`时就不再流出水了。如果 `h_1<10.3`，无论如何是不可能流出水的，除非在外界也加入一个真空环境。

dlsh

谢谢老师!\(h_{2}-h_{1}\)这段应该是自由落体运动。
下面这些图片增强了理解，也就是说在水平面以上这一段水管内看作静止。@dlsh

hujunhua

@dlsh 即使不考虑水中的溶解气体和水的蒸汽压，当H等于大气压时，虹吸效应亦将为零，虹吸现象将中断。
@kastin 7#最后那段不正确，水箱内为真空时，虹吸无法发生。

以管顶为例。压力（静压强）单位都用水柱高。
假想管顶A-A截面有一个薄片，则薄片左侧承受的压力为 P_左=Pa-H，薄片右侧承受的压力为 P_右=Pa-(H+L),
P_左-P_右=L
貌似可以得出结论，不管Pa为何，薄片承受的合力总是向右并恒等于左右水柱高度差，虹吸总能发生。
但是请注意，P_左必须大于零，才能作用于薄片，如果Pa-H<0, 实际上P_左=0.
同样，P_右必须大于零，才能作用于薄片，如果Pa-H<0, 则实际上P_右=0.
所以，如果Pa-H<0，虹吸是无法发生的。

kastin

7楼已经提到了前提条件（前提是管子里先充满水）。不充满水，是不可能自动发生虹吸的。为什么要充满水？就是因为可以用上面5楼提供的视频那样，先给水管中流体一个动能，只要有一个动能，就能流出（但持续时间不会很长，与动能大小有关）。但如果是静止的，就不可能自动吸上来。

当然，不考虑真空情况，液体还存在饱和蒸气压的问题，所以当管内流速很大的情况下（比如L非常非常大——根据前面的公式，管顶速度就等于右端出口速度），管顶压力会降低很多，根据7楼给的管顶压力公式，液体压力会比大气压低很多，会产生“沸腾”（比如高海拔地方的水沸点低）。这时候管顶产生了8楼中提到的空泡现象，导致全都是水蒸气的空泡，但即使是空泡，它仍然是流体，只要其他定常不可压无粘重力假设条件满足，伯努利公式仍然成立，所以不会有影响。因为水蒸气也有动能，自然会产生压降，把其他地方的水吸过来。

空泡现象挺多的，有高速旋转螺旋桨的地方都会存在，比如鱼雷尾部，一些水轮机叶片上，都会产生空泡。空泡不稳定会破裂，产生高温高压局部冲击，导致材料表面产生空蚀破坏（产生许多坑洞）。另一方面，这种空泡破裂产生的压力脉冲累积效应也能够诱发强烈的振动、噪声等问题。详细可以看看这个资料：趣谈流体中的空化现象