projecteuler 199题（几何的）

winxos

Problem 199[size=80%]21 June 2008 Three circles of equal radius are placed inside a larger circle such that each pair of circles is tangent to one another and the inner circles do not overlap. There are four uncovered "gaps" which are to be filled iteratively with more tangent circles.

At each iteration, a maximally sized circle is placed in each gap, which creates more gaps for the next iteration. After 3 iterations (pictured), there are 108 gaps and the fraction of the area which is not covered by circles is 0.06790342, rounded to eight decimal places. What fraction of the area is not covered by circles after 10 iterations? Give your answer rounded to eight decimal places using the format x.xxxxxxxx . 觉得这个图片很漂亮，不过计算的时候觉得那些缝隙没什么思路。请各位大侠指点。

mathe

老老实实计算所有圆的半径就应该可以了,第一步添加4个圆,第二步12个,...,第10步添加236196,共354292个圆. 如果再考虑对称性,还有一半以上的可以不需要计算. 所以余下的问题就是对于给定的三个圆,计算同它们都相切的最小的圆的圆心坐标和半径.

kon3155

余下的问题请参考 三个两两相外切圆的内公切圆与外公切圆.pdf (158.35 KB, 下载次数: 31)

2009-5-14 11:54 上传

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，有个很漂亮的公式反映5个圆半径之间的关系。如果只求面积的话，应该不用求圆心吧。 另外相关的内容可参见mathe在csdn的解答：http://topic.csdn.net/t/20050310/13/3839925.html

winxos

原帖由 mathe 于 2009-5-14 10:24 发表 老老实实计算所有圆的半径就应该可以了,第一步添加4个圆,第二步12个,...,第10步添加236196,共354292个圆. 如果再考虑对称性,还有一半以上的可以不需要计算. 所以余下的问题就是对于给定的三个圆,计算同它们都相切的 ...

圆的个数就是`4*3^k`这个很容易得到，主要是圆半径都不一样，迷糊了。 谢谢`mathe`的回答。

winxos

原帖由 kon3155 于 2009-5-14 11:54 发表 余下的问题请参考909，有个很漂亮的公式反映5个圆半径之间的关系。如果只求面积的话，应该不用求圆心吧。 另外相关的内容可参见mathe在csdn的解答。http://topic.csdn.net/t/20050310/13/3839925.html

`kon3155`版主的连接跟文章很切题，谢谢！

gxqcn

同感！（评分完后才看到我才发现新跟了个 5#）

数学星空

分析的很精准...

gxqcn

若半径分别为 $r,s,t,u$ 的四个圆两两相切，则：

$1/r^2+ 1/s^2+1/t^2+1/u^2 = 1/2(1/r+1/s+1/t+1/u)^2$

这里，若两圆相外切，两圆半径取同号；若两圆相内切，两圆半径取异号。

数学星空

这就足够体现了数形的完美“简洁（齐次对称）的代数关系式往往能包含丰富的几何结构，因为它让人更有想象力（推广的更深刻）” 其实与$sqrt({r+t+u}/s)+sqrt({r+s+u}/t)+sqrt({r+s+t}/u)=sqrt({s+t+u}/r)$ $sqrt({r-t-u}/s)+sqrt({r-s-u}/t)+sqrt({r-s-t}/u)=sqrt({s+t+u}/r)$ 是等价的（用MATHEMATICA 6.0 计算） 详细的计算见http://bbs.emath.ac.cn/thread-1519-2-1.html

mathe

若半径分别为 r,s,t,u 的四个圆两两相切，则： 1/r^2+ 1/s^2+1/t^2+1/u^2 = 1/2(1/r+1/s+1/t+1/u)^2 这里，若两圆相外切，两圆半径取同号；若两圆相内切，两圆半径取异号。 gxqcn 发表于 2009-7-26 16:18

这个很漂亮,也容易计算(解二次方程)