三角函数求和问题，泣谢！

282842712474

要求的精度是多少？

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记
\[f_N(A)=\sum_{k=0}^{N} \frac{e^{iAk}}{k+d} =e^{-iAd}\sum_{k=0}^{N} \frac{e^{iA(k+d)}}{k+d} \]
那么可以令
\[g_N(A)=f_N(A)e^{iAd}\]
得到
\[g'_N(A) = i\sum_{k=0}^{N} e^{iA(k+d)} = ie^{iAd}\frac{1-e^{iA(N+1)}}{1-e^{iA}}\]
那么
\[g_N(A) = i\int_0^A e^{iAd}\frac{1-e^{iA(N+1)}}{1-e^{iA}} dA + C\]
你的出发点是降低计算量，我猜你的$N,A,d$都是变数，而且多数情况下是固定$N$变化$A,d$？上面过程转化为数值积分，我不知道数值积分的计算量跟直接计算的计算量相比差别多大？事实上我觉得直接计算的计算量都不大吧？

libertywall

谢谢各位！特别感谢 282842712474 ，实际上就是N固定为1024位，工程上用在信号捕获，需要实时计算，所以非常希望能有解析解。后来请教了多位数学博士，都认为难度很大，需要作为一个项目来研究才行。谢谢各位了！

282842712474

libertywall 发表于 2018-1-10 22:14
谢谢各位！特别感谢 282842712474 ，实际上就是N固定为1024位，工程上用在信号捕获，需要实时计算，所以非 ...

事实上$e^x,\sin x, \cos x$都是靠级数来计算的。哪怕最后真的能给你个解析式，那实际计算的时候也是得展开级数来计算（底层），所以倒不如真的按照前面几位大佬说的，按照和差化积公式，直接递归地算。

另外，还看你需要的精度吧，如果精度不高，我估计可以推导出近似的表达式出来。

zhouguang

可否用一个表来保存sin(x)的值，然后插值，这样又快又方便。

libertywall

白天上网不便，回来赶紧上来看看。这边是通过逻辑电路来流水计算，计算三角函数和乘法除了占有的逻辑电路面积有差别，计算耗时几乎没有差别。精度要求至少要单精度，计算和还要带入后续运算。这里面N是序列长度,A是比例因子，都是固定的，d是随机的。并且可以在一定范围内构造A*N，使得等于某个利于计算的特定值。还是数学基础不行，282842712474的推导能看明白，微分还能搞清楚，到积分就开始含糊了...

libertywall

求教 282842712474，如果A*N构造成为2pi整数倍，上面的数值积分会简化很多吧？

libertywall

如果A*N构造成为2pi, 这个积分就很简单，但似乎是一个平凡解，我明天再确认一下