求助

student_qwh

求助，谢谢各位高手
在三角形ABC中,延长AB使BD=AB,连结CD,F是BC边上的一点,连接AF交CD于点E,EF=CE
CF=AB=BD，求角ABC的度数

student_qwh

我认为要倍长中线做，不知对不对

zuijianqiugen

这个题简单，角ABC的度数=120度

mathe

如图,在CB上取H使得CH=BF,过D做AE平行线交CB延长线于G点，于是容易证明三个三角形ABF,DBG,DHF全等
所以BD=DH=CF=BH,得出三角形BDH是正三角形

shufubisheng

mathe 发表于 2018-1-26 09:44
如图,在CB上取H使得CH=BF,过D做AE平行线交CB延长线于G点，于是容易证明三个三角形ABF,DBG,DHF全等
所以BD= ...

我的方法更简单：
（1）过E作BC平行线，用平行线定理得CD=AF；
（2）在BC上找一点H，使BH=BD，容易证明三角形ABF与DHC全等。故三角形BDH是正三角形。

mathe

你的cd=af是如何证明的，没看明白

mathe

应该是几个比例计算替换，我倒是觉得三个全等三角形更直观

wayne

１）由于条件里给的几个长度相关的边特别多，而且都比较分散，又相对集中在蝴蝶型里，第一反应就是要祭上梅涅劳斯定理．$∆ADE$被直线$BCF$相截，于是　${AB}/{BD}{DC}/{CE}{EF}/{FA}=1$，代入条件立马得到$DC=FA$
２）发现上面得到的$DC$,$FA$比较分散，于是先寄希望于全等或者相似三角形了,凑一个跟这两个边相关的角度，$∠AFB=∠EFC=∠FCD$，成功了．同时记得我们的目标是$∠ABC$,　于是可以凝聚成$∆AFG$与$∆DCB$的全等．于是$G$一定是在直线$BC$上，所以可以做辅助线，延长$FB$,使得$FG=CB$,即$BG=CF=AB$．
根据全等得到$AG=BD$，于是$∆ABG$是正三角形，所以$∠ABC=120°$
   

hujunhua

我一眼就看到AF=CD，凭的两个角倾相等，写出来要用正弦定理。
AF=ABsin∠AFB/sin∠ABF=BDsin∠BCD/sin∠DBC=CD.
感觉不够几何呀。

梅涅劳斯定理，才是几何嘛

hujunhua

不过，正弦定理是容易转换到几何的。用wayne的右图（左图一样）。

在BC上取点G，作等腰三角形BDG，DB=DG。则三角形ABF与三角形DGC全等，因三角对应相等，一条对应边相等。
于是GC=BF，得BG=CF，得正三角形BDG .