概率趣题

gxqcn

十进制仅仅是个众多计数法则之一而已。
一列数总和能否被某个数整除，与进位制有什么关系？
好比一个素数，你能说它仅仅在十进制下是素数？！

王守恩

gxqcn 发表于 2018-2-10 13:00
十进制仅仅是个众多计数法则之一而已。
一列数总和能否被某个数整除，与进位制有什么关系？
好比一个素数 ...

对不起！是我把题目看错了！我想的是这样一道题：

从 1～n 中取 k 个不同的数相加求和，求这个和的末位数等于 0,1,2,…,9 的频数。

譬如：从1到93这93个自然数中任取两两不等的9个数, 把它们相加得到一个和;

这个和的末位整数可能分别是0,1,2,3,...,7,8,9

求,末位整数的这十种不同情况出现的频数各是多少?

baindeglace

王守恩 发表于 2018-2-10 13:45
对不起！是我把题目看错了！我想的是这样一道题：

从 1～n 中取 k 个不同的数相加求和，求这个和的末 ...

你这个题和原题没什么关系啊。而且就你这个题而言，和进制也没有什么关系，只和模有关系。不管是10进制，2进制，7进制也好，都是一种表示形式，并不改变数的什么性质。

baindeglace

王守恩 发表于 2018-2-10 12:51
平均掷多少次可以使得所有扔出的数字之和为10的倍数即数字之和的末位数是0。
末位数出现0,1,2,3,4,5,6,7 ...

而且这里的表述有问题，只有在极限情形下，概率是一样的.

掷任意有限次时，末尾出现的0，1.。。9的频数都是不一样的，只是会收敛到0.1

王守恩

baindeglace 发表于 2018-2-10 23:50
而且这里的表述有问题，只有在极限情形下，概率是一样的.

掷任意有限次时，末尾出现的0，1.。。9的频 ...

拓展一下，下面的题，我也不知道能不能算同一类型。
2的平方根可以用一串渐近分数来表示：
3/2，7/5，17/12，41/29，99/70，239/169，577/408，1395/985,.....
问：
在前100个渐近分数中，分子位数多于分母位数的有多少个？
在前1000个渐近分数中，分子位数多于分母位数的有多少个？
在前10000个渐近分数中，分子位数多于分母位数的有多少个？
...........

baindeglace

王守恩 发表于 2018-2-12 08:05
拓展一下，下面的题，我也不知道能不能算同一类型。
2的平方根可以用一串渐近分数来表示：
3/2，7/5，1 ...

看样子不是同一个类型的，原题只是一个简单的概率论题目。你这个是和数论相关的题目，我对数论了解的很有限，解答不了。

mathe

对于像25#这样的方法，很难有理论上的结论，但是我们可以定性分析一下给定分母平均分布在某个范围1~N时，分子比分母多一位的概率。我们不妨设存在k使得$10^k<=N<10^{k+1}$
现在我们设$sqrt(2)$有某个逼近$a/b$,其中$10^h<=b<10^{h+1}$,于是近似有$\sqrt(2)*10^h<=a=\sqrt(2)b <\sqrt(2)*10^{h+1}$，
其中仅在$b >= {10^{h+1}}/{\sqrt(2)}$时a比b多一位
所以比例在${10^{h+1}-{10^{h+1}}/{\sqrt(2)}}/{10^{h+1}-10^h}$
如果我们对所有不超过N的b进行统计，可以得出其中a比b多一位的情况有
$\sum_{h=0}^{k-1}(10^{h+1}-{10^{h+1}}/{\sqrt(2)})+\max{0,N-{10^{k+1}}/{\sqrt(2}}}$
而这个结果就是$(1-1/\sqrt{2})\frac{10^{k+1}-10}9+\max{0,N-{10^{k+1}}/{\sqrt(2}}}$
所以平均频率为${(1-1/\sqrt{2})\frac{10^{k+1}-10}9+\max{0,N-{10^{k+1}}/{\sqrt(2}}}}/N$，显然这个频率随着N的变化而波动
其中在N充分大时比例在$\frac{\sqrt{2}}{9}(1-1/\sqrt{2})$和$10/9(1-1/\sqrt{2})$之间摆动。特别在N接近10的幂时接近最大值$10/9(1-1/\sqrt{2})$
如果我们再对上面频率关于N求平均值就可以得出平均概率

王守恩

mathe 发表于 2018-2-13 13:41
对于像25#这样的方法，很难有理论上的结论，但是我们可以定性分析一下给定分母平均分布在某个范围1~N时，分 ...

谢谢mathe！您的算法是对的：其中在\(N\)充分大时比例在\(\frac{\sqrt 2}{9}(1&#8722;\frac{1}{\sqrt 2})=0.046\)和\(\frac{10}{9}(1&#8722;\frac{1}{\sqrt 2})=0.325之间摆动。\)
答案好像0.153左右，确实在0.046——0.325之间。
我还是有2点一直没有搞清楚。
1， 极想找个数验算一下：在前10000个渐近分数中，分子位数多于分母位数的具体数目我是无能为力。
2，这个0.153是怎么来的我还真无法下手。

mathe

王守恩 发表于 2018-2-14 14:45
谢谢mathe！您的算法是对的：其中在\(N\)充分大时比例在\(\frac{\sqrt 2}{9}(1&#8722;\frac{1}{\sqrt 2}) ...

后面我们应该对充分大的k对区间$(10^k,10^{k+1})$之间的N求平均值，
可以用积分近似替代，所以就是${\int_{10^k}^{10^{k+1}}{(1-1/\sqrt{2}){10^{k+1}-10}/9}/N dN+\int_{{10^{k+1}}/\sqrt{2}}^{10^{k+1}}{N-{10^{k+1}}/\sqrt{2}}/N dN}/{\int_{10^k}^{10^{k+1}} dN}$
$={(1-1/\sqrt{2}){10^{k+1}-10}/9*\ln(10)+10^{k+1}(1-1/\sqrt{2})-10^{k+1}/\sqrt{2}\ln(\sqrt{2})}/{9 xx10^k} ~=10/9((1-1/\sqrt{2})(\ln(10)/9+1)-1/\sqrt{2}\ln(\sqrt{2}))~=0.136$
和你报告的极限不同

王守恩

mathe 发表于 2018-2-17 21:12
后面我们应该对充分大的k对区间$(10^k,10^{k+1})$之间的N求平均值，
可以用积分近似替代，所以就是${\ ...

2的平方根可以用一串渐近分数来表示：
3/2，7/5，17/12，41/29，99/70，239/169，577/408，1395/985,.....
在前100个渐近分数中，分子位数多于分母位数的有15个。
在前1000个渐近分数中，分子位数多于分母位数的有153个。
在前10000个渐近分数中，分子位数多于分母位数的有1508个。
在前100000个渐近分数中，分子位数多于分母位数的有15052个。
在前1000000个渐近分数中，分子位数多于分母位数的有150522个。
在前10000000个渐近分数中，分子位数多于分母位数的有1505284个。
谢谢mathe！您的算法是对的：
对充分大的k对区间\((10^k,10^{k+1})\)之间的N求得平均值为\(0.136\)
对充分大的k对区间\((10^0,10^{k+1})\)之间的平均值为\(\D\frac{0.136}{0.9}=0,15\)
学习了！谢谢mathe！