三角形已知两边以及内接圆直径,啥条件下第三边只有一种情况?

mathematica

https://bbs.emath.ac.cn/thread-15311-1-1.html
求三角形的第三边数值？


问题来源于上面的问题,上面的AC边有两种情况,
满足啥条件,然后AC只有一种情况呢?

mathe

唯一情况，对应三次方程有重根

hujunhua

对于给定的腰长，内切圆最大时，底边长唯一。

mathe

根据海伦公式$r^2p=(p-a)(p-b)(a+b-p)$其中p为半周长，所以$max{a,b}<p<a+b$
我们可以得出如下的图

其中三次曲线代表上面方程的右边，而直线代表上面方程的左边，其中$r^2$为直线的斜率。

kastin

我隐约记得好像有“已知两边和旁切圆半径，能唯一确定这个三角形”这种结论，不知有人了解的吗？

mathematica

mathe 发表于 2018-3-19 16:13
根据海伦公式$r^2p=(p-a)(p-b)(a+b-p)$其中p为半周长，所以$max{a,b}

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*r是内切圆半径,a b c是三条边的边长*)
   
3. ff=Collect[FullSimplify[r^2*4*(a+b+c)-(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)],c](*由两种面积定义得到等式*)
   
4. flist=FullSimplify@CoefficientList[ff,c](*计算系数*)
   
5. {d0,c0,b0,a0}=flist(*把各个系数赋值*)
   
6. (*计算系数的判别式子函数*)
   
7. fun[a0_,b0_,c0_,d0_]:=Module[{a=a0,b=b0,c=c0,d=d0},18*a*b*c*d-4*b^3*d+b^2*c^2-4*a*c^3-27*a^2*d^2]
   
8. (*由系数计算最终的判别式*)
   
9. rr=FullSimplify@fun[a0,b0,c0,d0]
   
10. a=6;b=8;
    
11. NSolve[{rr==0,r>0},{r},80]
    

复制代码

\[64 \left(-4 r^4 \left(2 a^2+7 a b+2 b^2\right)+a^2 b^2 (a-b)^2+4 r^2 \left(-a^4+a^3 b+a^2 b^2+a b^3-b^4\right)-4 r^6\right)=0\]
就是a b r满足的条件,但是只是必要条件,不是充分条件
也就是
\[-4 r^4 \left(2 a^2+7 a b+2 b^2\right)+a^2 b^2 (a-b)^2+4 r^2 \left(-a^4+a^3 b+a^2 b^2+a b^3-b^4\right)-4 r^6=0\]
这个方程

mathematica

hujunhua 发表于 2018-3-19 15:58
对于给定的腰长，内切圆最大时，底边长唯一。

你的观点很深刻,我计算了a=6;b=8;的情况,c=8.853244607832230170710647643238275867
确实是在内切圆半径最大的情况下是唯一的解
但是并不能证明