托勒密定理的一个证明

mathematica

今天偶然发现可以用余弦定理来证明托勒密定理,
以前没发现过,所以共享一下,证明还算简单
(*利用余弦定理证明托勒密定理*)
(*圆内接四边形对角线互补,所以一个是-cos,一个是+cos*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
out1=FullSimplify@Solve[{a^2+b^2-2*a*b*cosA==f^2,c^2+d^2+2*c*d*cosA==f^2},{cosA,f}]
out2=FullSimplify@Solve[{b^2+c^2-2*b*c*cosB==e^2,d^2+a^2+2*d*a*cosB==e^2},{cosB,e}]
(*把最后的f与e相乘,最后化简结果是ac+bd,软件不会化简*)

1. (*利用余弦定理证明托勒密定理*)
   
2. (*圆内接四边形对角线互补,所以一个是-cos,一个是+cos*)
   
3. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
4. out1=FullSimplify@Solve[{a^2+b^2-2*a*b*cosA==f^2,c^2+d^2+2*c*d*cosA==f^2},{cosA,f}]
   
5. out2=FullSimplify@Solve[{b^2+c^2-2*b*c*cosB==e^2,d^2+a^2+2*d*a*cosB==e^2},{cosB,e}]
   
6. (*把最后的f与e相乘,最后化简结果是ac+bd,软件不会化简*)
   

复制代码

已经舍弃了负的f

\[\left\{\text{cosA}\to \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2 a b+2 c d},f\to \frac{\sqrt{(a d+b c) (a c+b d)}}{\sqrt{a b+c d}}\right\}\]

\[\left\{\text{cosB}\to \frac{-a^2+b^2+c^2-d^2}{2 (a d+b c)},e\to \frac{\sqrt{(a c+b d) (a b+c d)}}{\sqrt{a d+b c}}\right\}\]

最后e*f的结果如下

\[e*f=\frac{\sqrt{(a d+b c) (a c+b d)} \sqrt{(a c+b d) (a b+c d)}}{\sqrt{a d+b c} \sqrt{a b+c d}}=a c+b d\]

所以证明了托勒密定理

mathematica

Casey's theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Casey%27s_theorem
托勒密定理的推广,很有意思

只是呼吸

今天偶然发现可以用余弦定理来证明托勒密定理,

这个用余弦定理的证明方法是很早就有的。不复杂。

zeroieme

只要一行代码

1.   Simplify[(Sqrt[(b c+a d) (a c+b d)] Sqrt[(a c+b d) (a b+c d)])/(Sqrt[b c+a d] Sqrt[a b+c d]),a>0\[And]b>0\[And]c>0\[And]d>0]

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就能证明你的愚蠢是你爸遗传的