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定义函数$φ_0(n)=n,φ_k(n)=φ(φ_(k-1)(n))$,即对$n$求$k$次欧拉函数。易知对每个正整数$n$,存在正整数$t$使得$φ_t(n)=1$,我们记$φ_0(n),φ_1(n),……,φ_t(n)$的最小公倍数为$L(n)$.
定义函数$f(n)$为不超过$n$且与$L(n)$互素的正整数的个数。
这个数列的前几项为:
$1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 6, 6, 8, 6, 8, 8,8, 10, 8, 9, 8, 8, 8, 8, 16, 8, 16, 8, 12, 12, 12, 12, 16, 16, 12, 12, 16, 12, 15, 15, 16, 14, 20, 16, 16, 16, 18, 20, 16, 18, 15, 15, 16, 16, 16, 18, 32, 16, 16, 16, 32, 16, 16, 16, 24, 24, 24, 20, 24, 17, 24, 24, 32, 27$
用这个数列的前几项在OEIS中搜索,得到一个数列:http://oeis.org/A110884,前几项为:
$1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 6, 6, 8, 6, 8, 8, 8, 10, 8, 9, 8, 8, 8, 8, 16, 8, 16, 8, 12, 12, 12, 12, 16, 16, 12, 12, 16, 12, 16, 16, 16, 14, 20, 16, 16, 16, 18, 20, 16, 18, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 32, 16, 16, 16, 32, 16, 16, 16, 24, 24, 24, 20, 24, 16, 24, 24, 32, 27$
这个数列,记为$E(n)$,和$f(n)$相似度很高,但是第$46, 47, 58, 59, 77$项相差$1$:
$0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0$
所以问题是,这两个数列有什么关系,什么时候相等,什么时候不相等,不相等的时候差额是多少?
补充一下$E(n)$的定义:
定义数列$c(1)=1,c(k+1)=n*φ(c(k))$,由于$n|c(k+1)$,易知$(c(k+1))/(c(k))$是单调不增的,所以存在极限,这个极限记为$E(n)$. |