有理方程求解

zeroieme

如下：
\(4 u^2 + v^4 = 3 + 2 v^2\)

zeroieme

Wolfram Alpha给的一堆东西就是没有结果

wayne

由于$4 u^2  = - v^4 + 3 + 2 v^2 = (3-v^2)(1+v^2) <=4$ ，排除平凡解，$u=+-1,v=+-1$,

设$u=b/a,v=q/p$,不可约，那么$b<a,q<p$,  $4b^2p^4=a^2(3p^2-q^2)(p^2+q^2)$, 也就是
\begin{array}{c}
a=p^2 x \\
\left(3 p^2-q^2\right) \left(p^2+q^2\right)=b^2 y \\
x^2 y=4 \\
\end{array}

因为如果$y=1,x=2$，那么$gcd(a,b)=2$，所以只可能$x=1,y=4$
\begin{array}{c}
a=p^2 \\
4a^2-(a-q^2)^2=4b^2  \\
\end{array}
勾股万能公式套进去，得到两个形式
1）\begin{array}{c}
a=p^2=m^2+n^2 \\
b=2mn \\
q^2=3n^2-m^2  \\
\end{array}

2）\begin{array}{c}
a=p^2=m^2+n^2 \\
b=m^2-n^2 \\
q^2=m^2-4mn+n^2  \\
\end{array}

1. FullSimplify[m^2 - 4 m n + n^2 /. MapThread[Rule, {{m, n}, {2 x y, x^2 - y^2}}]]
   
2. FullSimplify[m^2 - 4 m n + n^2 /. MapThread[Rule, {{n, m}, {2 x y, x^2 - y^2}}]]
   
3. FullSimplify[3 n^2 - m^2 /. MapThread[Rule, {{m, n}, {2 x y, x^2 - y^2}}]]
   
4. FullSimplify[3 n^2 - m^2 /. MapThread[Rule, {{n, m}, {2 x y, x^2 - y^2}}]]

复制代码

也就说，主要是分别看下面的方程是否有正整数解

\[x^4 - 8 x^3 y + 2 x^2 y^2 + 8 x y^3 + y^4=q^2\\
3 x^4 - 10 x^2 y^2 + 3 y^4=q^2\\
-x^4 + 14 x^2 y^2 - y^4=q^2\]

搞不动了，逃。。。

。

mathe

需要转化为椭圆曲线

xiaoshuchong

wayne 发表于 2018-12-10 10:32
由于$4 u^2  = - v^4 + 3 + 2 v^2 = (3-v^2)(1+v^2)

令u,v满足如下变换
\[v=\frac{2x+y-1}{y+1},u=\frac{2x^{3}-4x^{2}+2x-y^{2}-2y-1}{\left(y+1\right)^{2}}\]
其中，x,y满足$y^2=x^{3}-x^{2}+x$.
该椭圆曲线秩为0，只有四个整点$\left[\pm1,\pm1\right]$.