这些得数都是正整数！？

王守恩

2,  
1,  2,   
1,  3,   4,   
1,  4,   6,    4,   
1,  5,  10,   10,   6,   
1,  6,  15,   20,  15,    6,   
1,  7,  21,   35,  35,   21,    8,   
1,  8,  28,   56,  70,   56,   28,    8,     
1,  9,  36,   84, 126, 126,   84,   36,   10,   
1, 10,  45, 120, 210, 252,  210, 120,   45,  10,   
1, 11,  55, 165, 330, 462,  462, 330,  165,  55,    12,     
1, 12,  66, 220, 495, 792,  924, 792,  495, 220,    66,   12,   
1, 13,  78, 286, 715,1287,1716,1716,1287, 715,  286,   78,  14,     
1, 14,  91, 364,1001,2002,3003,3432,3003,2002,1001, 364,  91,  14,   
1, 15, 105,455,1365,3003,5005,6435,6435,5005,3003,1365, 455, 105, 16,  
..........................

上面的表只是把“杨辉三角”改变了一下(从左上到右下斜的第1列稍有改动，其余没变)，

我们在上面的表中取一列数(从上到下取，个数不限)，

譬如：4,6,10,15,21，则，\(\frac{4}{2^5}+\frac{6}{2^4}+\frac{10}{2^3}+\frac{15}{2^2}+\frac{21}{2^1}=16\)

譬如：4,6,10,15,21,28,36,45,55，则，\(\frac{4}{2^9}+\frac{6}{2^8}+\frac{10}{2^7}+\frac{15}{2^6}+\frac{21}{2^5}+\frac{28}{2^4}+\frac{36}{2^3}+\frac{45}{2^2}+\frac{55}{2^1}=46\)

譬如：6,15,35,70,126,210,330,495，则，\(\frac{6}{2^8}+\frac{15}{2^7}+\frac{35}{2^6}+\frac{70}{2^5}+\frac{126}{2^4}+\frac{210}{2^3}+\frac{330}{2^2}+\frac{495}{2^1}=367\)

譬如：10,45,165,495,1287,3003,6435，则，\(\frac{10}{2^7}+\frac{45}{2^6}+\frac{165}{2^5}+\frac{495}{2^4}+\frac{1287}{2^3}+\frac{3003}{2^2}+\frac{6435}{2^1}=4166\)

我们的问题是：这些得数都是正整数！？ 您能举出反例来吗？
   

zeroieme

为凑整而改？

lsr314

考虑$\sum_{k=r}^n(2+x)^k$中$x^r$的系数，这是个等比数列。

王守恩

lsr314 发表于 2018-12-25 09:45
考虑$\sum_{k=r}^n(2+x)^k$中$x^r$的系数，这是个等比数列。

lsr314先生！请再指点一二！ 不胜感谢！

\((2+x)^{01}=2^{01}+x\)
\((2+x)^{02}=2^{02}+4x+x^2\)
\((2+x)^{03}=2^{03}+12x+6x^2+x^3\)
\((2+x)^{04}=2^{04}+32x+24x^2+8x^3+1x^4\)
\((2+x)^{05}=2^{05}+80x+080x^2+40x^3+10x^4+1x^5\)
\((2+x)^{06}=2^{06}+192x+240x^2+160x^3+60x^4+12x^5+1x^6\)
\((2+x)^{07}=2^{07}+448x+0672x^2+560x^3+280x^4+084x^5+14x^6+1x^7\)
\((2+x)^{08}=2^{08}+1024x+1792x^2+1792x^3+1120x^4+448x^5+112x^6+16x^7+1x^8\)
\((2+x)^{09}=2^{09}+2304x+4608x^2+5376x^3+04032x^4+2016x^5+672x^6+144x^7+18x^8+1x^9\)
\((2+x)^{10}=2^{10}+5120x+11520x^2+15360x^3+13440x^4+8064x^5+3360x^6+960x^7+180x^8+20x^9+1x^{10}\)
\((2+x)^{11}=2^{11}+11264x+28160x^2+42240x^3+42240x^4+29568x^5+14784x^6+5280x^7+1320x^8+220x^9+22x^{10}+1x^{11}\)
\((2+x)^{12}=2^{12}+24576x+67584x^2+112640x^3+126720x^4+101376x^5+29568x^6+25344x^7+7920x^8+1760x^9+264x^{10}+24x^{11}+1x^{12}\)
\((2+x)^{13}=2^{13}+53248x+159744x^2+292864x^3+366080x^4+329472x^5+219648x^6+109824x^7+41184x^8+11440x^9+2288x^{10}+312x^{11}+26x^{12}+1x^{13}\)
\((2+x)^{14}=2^{14}+114688x+372736x^2+745472x^3+1025024x^4+1025024x^5+768768x^6+439296x^7+192192x^8+64064x^9+16016x^{10}+2912x^{11}+364x^{12}+28x^{13}+1x^{14}\)
\((2+x)^{15}=2^{15}+245760x+860160x^2+1863680x^3+2795520x^4+3075072x^5+2562560x^6+1647360x^7+823680x^8+320320x^9+96096x^{10}+21840x^{11}+3640x^{12}+420x^{13}+30x^{14}+x^{15}\)

王守恩

lsr314 发表于 2018-12-25 09:45
考虑$\sum_{k=r}^n(2+x)^k$中$x^r$的系数，这是个等比数列。

      \(\frac{3}{3^{1}}=1\)
      \(\frac{3}{3^{2}}+\frac{5}{3^{1}}=2\)
      \(\frac{3}{3^{3}}+\frac{5}{3^{2}}+\frac{7}{3^{1}}=3\)
      \(\frac{3}{3^{4}}+\frac{5}{3^{3}}+\frac{7}{3^{2}}+\frac{9}{3^{1}}=4\)
      \(\frac{3}{3^{5}}+\frac{5}{3^{4}}+\frac{7}{3^{3}}+\frac{9}{3^{2}}+\frac{11}{3^{1}}=5\)
      \(\frac{3}{3^{6}}+\frac{5}{3^{5}}+\frac{7}{3^{4}}+\frac{9}{3^{3}}+\frac{11}{3^{2}}+\frac{13}{3^{1}}=6\)
      \(\frac{3}{3^{7}}+\frac{5}{3^{6}}+\frac{7}{3^{5}}+\frac{9}{3^{4}}+\frac{11}{3^{3}}+\frac{13}{3^{2}}+\frac{15}{3^{1}}=7\)
      \(\frac{3}{3^{8}}+\frac{5}{3^{7}}+\frac{7}{3^{6}}+\frac{9}{3^{5}}+\frac{11}{3^{4}}+\frac{13}{3^{3}}+\frac{15}{3^{2}}+\frac{17}{3^{1}}=8\)
      \(\frac{3}{3^{9}}+\frac{5}{3^{8}}+\frac{7}{3^{7}}+\frac{9}{3^{6}}+\frac{11}{3^{5}}+\frac{13}{3^{4}}+\frac{15}{3^{3}}+\frac{17}{3^{2}}+\frac{19}{3^{1}}=9\)
      \(\frac{3}{3^{10}}+\frac{5}{3^{9}}+\frac{7}{3^{8}}+\frac{9}{3^{7}}+\frac{11}{3^{6}}+\frac{13}{3^{5}}+\frac{15}{3^{4}}+\frac{17}{3^{3}}+\frac{19}{3^{2}}+\frac{21}{3^{1}}=10\)
      \(\frac{3}{3^{11}}+\frac{5}{3^{10}}+\frac{7}{3^{9}}+\frac{9}{3^{8}}+\frac{11}{3^{7}}+\frac{13}{3^{6}}+\frac{15}{3^{5}}+\frac{17}{3^{4}}+\frac{19}{3^{3}}+\frac{21}{3^{2}}+\frac{23}{3^{1}}=11\)
      \(\frac{3}{3^{12}}+\frac{5}{3^{11}}+\frac{7}{3^{10}}+\frac{9}{3^{9}}+\frac{11}{3^{8}}+\frac{13}{3^{7}}+\frac{15}{3^{6}}+\frac{17}{3^{5}}+\frac{19}{3^{4}}+\frac{21}{3^{3}}+\frac{23}{3^{2}}+\frac{25}{3^{1}}=12\)
         .........

lsr314

和式可以写为$s(n,r)=(mod(r+1,2))/2^n+C_(r+1)^r/2^n+……+C_(r+n)^r/2$
有$s(n+1,r)=1/2s(n,r)+1/2C_(r+n+1)^r$
由归纳法，只要证明$s(n,r)+C_(r+n+1)^r$是偶数即可。

王守恩

正规的解法。

\(\frac{6}{2^8}+\frac{15}{2^7}+\frac{35}{2^6}+\frac{70}{2^5}+\frac{126}{2^4}+\frac{210}{2^3}+\frac{330}{2^2}+\frac{495}{2^1}=367\)
\(\D\sum_{n=1}^{5}\ \frac{1}{2^{(6-n)}}\times\frac{n!}{4!(n-4)!}+\frac{1}{2^2}=3\)
\(\D\sum_{n=1}^{6}\ \frac{1}{2^{(7-n)}}\times\frac{n!}{4!(n-4)!}+\frac{1}{2^3}=9\)
\(\D\sum_{n=1}^{7}\ \frac{1}{2^{(8-n)}}\times\frac{n!}{4!(n-4)!}+\frac{1}{2^4}=22\)
\(\D\sum_{n=1}^{8}\ \frac{1}{2^{(9-n)}}\times\frac{n!}{4!(n-4)!}+\frac{1}{2^5}=46\)
\(\D\sum_{n=1}^{9}\ \frac{1}{2^{(10-n)}}\times\frac{n!}{4!(n-4)!}+\frac{1}{2^6}=86\)
\(\D\sum_{n=1}^{10}\ \frac{1}{2^{(11-n)}}\times\frac{n!}{4!(n-4)!}+\frac{1}{2^7}=148\)
\(\D\sum_{n=1}^{11}\ \frac{1}{2^{(12-n)}}\times\frac{n!}{4!(n-4)!}+\frac{1}{2^8}=239\)
\(\D\sum_{n=1}^{12}\ \frac{1}{2^{(13-n)}}\times\frac{n!}{4!(n-4)!}+\frac{1}{2^9}=367\)

王守恩

zeroieme 发表于 2018-12-25 09:44
为凑整而改？

不正规的解法。

    \(\D\frac{6}{2^8}+\frac{15}{2^7}+\frac{35}{2^6}+\frac{70}{2^5}+\frac{126}{2^4}+\frac{210}{2^3}+\frac{330}{2^2}+\frac{495}{2^1}\)

\(=[6÷2+15)÷2+35)÷2+70)÷2+126)÷2+210)÷2+330)÷2+495)÷2\)

\(=[3+15)÷2+35)÷2+70)÷2+126)÷2+210)÷2+330)÷2+495)÷2\)

\(=[9+35)÷2+70)÷2+126)÷2+210)÷2+330)÷2+495)÷2\)

\(=[22+70)÷2+126)÷2+210)÷2+330)÷2+495)÷2\)

\(=[46+126)÷2+210)÷2+330)÷2+495)÷2\)

\(=[86+210)÷2+330)÷2+495)÷2\)

\(=[148+330)÷2+495)÷2\)

\(=(239+495)÷2\)

\(=367\)

王守恩

王守恩 发表于 2019-1-8 11:07
不正规的解法。

    \(\D\frac{6}{2^8}+\frac{15}{2^7}+\frac{35}{2^6}+\frac{70}{2^5}+\frac{126}{ ...

      A,B 是正整数。  这些得数也都是正整数！？   


\[\D\sum_{n=0}^{A}\D \frac{n!}{2^{A-n}\ (n-B)!\ B!\ }+\frac{\cos(B\pi)}{2^{A-B}}=正整数\]