截断级数渐近分析

数学星空

我们知道\(e^n=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{n^k}{k!}}\)

  我们现在讨论截断级数的渐近展开

  \(\sum_{k=0}^{n}{\frac{n^k}{k!}}=e^n(a_0+\frac{a_1}{n}+\frac{a_2}{n^2}+\frac{a_3}{n^3}+\frac{a_4}{n^4}+\frac{a_5}{n^5}+\frac{a_6}{n^6}+\dots)\)

  求出\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\)的具体表达式?

注:拉马努金已在笔记本II中给出了下列渐近公式

\(\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{ex}{k})^k=\sqrt{2x\pi}\exp(x-\frac{1}{24x}-\frac{1}{48x^2}-(\frac{1}{36}+\frac{1}{5760})\frac{1}{x^3}+\dots)\)

数学星空

很神奇,maple 居然能用渐近求和命令\(simplify(asympt(\sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!},n,10))\)直接算出来

\(\sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!}=e^n(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{2}{n\pi}}(\frac{1}{3}-\frac{23}{540n}+\frac{23}{6048n^2}+\frac{259}{155520n^3}-\frac{2016373}{3695155200n^4}-\frac{4568387}{8151736320n^5}+\frac{67839059}{225740390400n^6}+\frac{11321196179287}{24176795811840000n^7}-\frac{1740078480353}{4941005665075200n^8}+O(n^9))\)

有谁能给出具体的分析计算过程吗?