数论题

manthanein

（1）求一组数（或证明满足条件的数组不存在），使得里面任意两个数的和是平方数，任意三个数的和是立方数。
（2）如果把（1）的条件改成“任意两个数的积是平方数，任意三个数的积是立方数”会怎样？
（3）如果把（1）的条件改成“任意两个数的平方和是平方数，任意三个数的立方和是立方数”会怎样？

xiaoshuchong

问题(1).
容易想到以下两种平凡的情况。
1. 所有数为0
2. 一个数为$t^6$，其余数为0

接下来考虑两个非零数的情况。
令三个数为$0,(u^2-v^2)^2,(2uv)^2$
则$u^{2}+v^{2}=t^3$
当$u,v=11,2$时，三个数为$0,1936,13689 $
类似地，也可以得到$2,2,23$这样的结果