连续自然数的幂的和等于自然数的幂

manthanein

给定从小到大依次排列的连续\(n\)个自然数，已知存在自然数\(u\)和自然数\(v\)，使得取这\(n\)个数中前\(n-1\)个数每一个的\(u\)次幂，再取这些幂的和，结果正好等于这\(n\)个数中最后一个数的\(v\)次幂，求所有可能的解。

已经知道\(3^2+4^2=5^2\)，\(3^3+4^3+5^3=6^3\)

白新岭

只有上边两组解。

白新岭

如果不连续，前边的个数与次数一致时，或许有很多解。

白新岭

n        3
6        216
9        729
12        1728
18        5832
19        6859
20        8000
24        13824
25        15625
27        19683
28        21952
29        24389
30        27000
36        46656
38        54872
40        64000
41        68921
42        74088
44        85184
45        91125
46        97336
48        110592
50        125000
53        148877
54        157464
56        175616
57        185193
58        195112
60        216000
63        250047
66        287496
67        300763
69        328509
70        343000
71        357911
72        373248
75        421875
76        438976
78        474552
80        512000
81        531441
82        551368
84        592704
85        614125
87        658503
88        681472
89        704969
90        729000
92        778688
93        804357
95        857375
96        884736
97        912673
99        970299
100        1000000
102        1061208
105        1157625
106        1191016
108        1259712
110        1331000
112        1404928
113        1442897
114        1481544
116        1560896
120        1728000
123        1860867
134        2406104
139  2685619

这是齐次不不定方程a^3+b^3+c^3=n^3,当a，b，c小于等于100时，所有有解的n值。

xiaoshuchong

某乎有个问题讲的连续自然数立方和为立方数
https://www.zhihu.com/question/505806181/answer/2270814119

@陈漱文给出了一个公式
\[\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{k^{3}}\left(n+\frac{k^{4}-3k^{3}-2k^{2}-2}{6}\right)^{3}&=&\left(\frac{k\left(k^{2}-1\right)\left(k^{2}+2\right)}{6}\right)^{3}
\end{eqnarray*}\]