什么情况下梅森数Mp含有因子8p+1?

mathematica

p是素数的情况下,

我只知道8p+1必须是素数(我还不能证明),
显然要求Mp是合数,
但是只要求是合数是不够的,
有的素数,即使p是素数,Mp是合数,且8p+1是素数,但是Mp就是不含有8p+1的因子
比如
{71, 101, 131, 137, 149, 269, 347, 401, 449, 479, 491, 509, 557, 599, \
617, 659, 677, 809, 821, 929, 947, 977, 1151, 1187, 1229, 1289, 1307, \
1361, 1409, 1487, 1559, 1571, 1601, 1619, 1697, 1811, 2027, 2069, \
2081, 2111, 2129, 2207, 2339, 2447, 2531, 2549, 2609, 2741, 2801, \
2927, 2969, 2999, 3137, 3209, 3299, 3461, 3467}

FactorInteger[2^71 - 1]
{{228479, 1}, {48544121, 1}, {212885833, 1}}


这些Mp都含有8p+1因子
{11, 29, 179, 239, 431, 761, 857, 941, 1367, 1667, 1871, 1877, 2411, 2837, 3041, 3119, 3329, 3347}
FactorInteger[2^29 - 1]
{{233, 1}, {1103, 1}, {2089, 1}}

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. data=Prime@Range@500;
   
3. (*找出含有8p+1的p*)
   
4. lst=Select[data,PowerMod[2,#,8*#+1]-1==0&]
   
5. (*Mp是合数,但是8p+1是素数*)
   
6. bb=Select[data,And[Not[PrimeQ[2^#-1]],PrimeQ[8*#+1]]&]
   
7. Complement[bb,lst]
   

复制代码

lsr314

$2^p-1$的素因子$q$满足$p|q-1$,所以$q$必然是$2kp+1$的形式，如果$8p+1|2^p-1$,则$8p+1$有一个形如$2kp+1$的素因子，显然$2p+1、4p+1$和$6p+1$都不是$8p+1$的因子，所以$8p+1$是素数。

白新岭

这与我的帖子数列2^n-2模2^k-1的剩余类个数只有k种有些关联。

mathe

如果8p+1是素数$\varphi(8p+1)=8p$，由于勒让德符号$(\frac{2}{8p+1})=1$，所以2是8p+1的二次剩余,所以$2^{4p} -=1 (mod 8p+1)$
或者说$8p+1| (2^p-1)(2^p+1)(2^{2p}+1)$

mathematica

lsr314 发表于 2019-2-13 12:06
$2^p-1$的素因子$q$满足$p|q-1$,所以$q$必然是$2kp+1$的形式，如果$8p+1|2^p-1$,则$8p+1$有一个形如$2kp+1$ ...

8p+1如果是合数, 那么因子必然小于4p+1/2,且必须是2kp+1的形式,
那么只能是2p+1的形式,而
且4*(2p+1)-(8p+1)=3
而2p+1是素数,这个表达式表明2p+1不可能是8p+1的因子,
所以8p+1是素数,
什么情况下含有因子8p+1呢?

mathematica

mathe 发表于 2019-2-13 12:49
如果8p+1是素数$\varphi(8p+1)=8p$，由于勒让德符号$(\frac{2}{8p+1})=1$，所以2是8p+1的二次剩余,所以$2^{ ...

当p模4余3的时候, 且p与2p+1都是素数的时候,
2*p+1是Mp的因子

你看这个表达多简单,我想着能不能有类似的简单的结论呢?

mathe

$p -=3 (mod 4)$,那么$2p+1 -= 7(mod 8)$,所以$(\frac{2}{2p+1})=1$,$2^p -= 1(mod 2p+1)$
但是如果$p -= 1(mod 4)$, 那么$2p+1 -= 3 (mod 8)$,所以$(\frac{2}{2p+1})=-1$， 于是在2p+1是素数时
$2^p -= -1 (mod 2p+1)$,得出$2p+1| 2^p+1$
上面结论简单是因为二次剩余的结论很简洁。
实际上上面两个结论不要求p是素数，只要求$2p+1$是素数

mathematica

mathe 发表于 2019-2-13 13:28
$p -=3 (mod 4)$,那么$2p+1 -= 7(mod 8)$,所以$(\frac{2}{2p+1})=1$,$2^p -= 1(mod 2p+1)$
但是如果$p -=  ...

2^9-1=511=7*73
9不是素数,但是2*9+1=19是素数,但是19不是511的因子