连续统假设的真假性是不确定的吗？

sheng_jianguo

    连续统假设是一个比较有意思的重要数学命题，有人（包括数学老师）认为：连续统假设的真假是不确定的（可以在不同的公理下其真假性也不同）。对此我有不同看法，以下是我的观点，望对此感兴趣着积极参与讨论。

连续统假设的真假性是不确定的吗？

连续统假设是研究无穷集合“大小”的一个重要命题。其（有严谨的定义）通俗说法是：实数集R是“最小”的一个不可数无穷集合（自然数集N是可数无穷集合）。

为讨论连续统假设是不是确定的，首先应认可以下几点，否则讨论将毫无意义：

1.任何无穷集合都是实无穷的

实无穷认为：任何一个无限个元素的整体本身可作为一个现成的集合时，是已经构造完成了的东西，其中元素的特性是确定不变的。不承认实无穷，所有自然数就不能认为可构成为一个集合了，当然实数集也没法确定了。

2.集合“大小”由康托尔规定的“一一对应”法则确定

集合比较“大小”最合理的的方法是康托尔提出的“一一对应”法则（虽然有人想提出其他法则，但会得出无法接受的不合理结论而放弃）。按“一一对应”法则，如果集合A到集合B存在一一函数（单射），则A的势小于等于B的势，记为|A|≤|B|。如果集合A到集合B存在一一对应函数（双射），则A与B等势，记为|A|＝|B|。如果|A|≤|B|，且|A|≠|B|，则A的势小于B的势，记为|A|＜|B|。

虽然实数集有不同的定义方法，但按“一一对应”法则，它们的势都是相等唯一的（等于自然数集N的幂集P(N)的势）。如果用其他方法来规定无穷集合“大小”，则本文要讨论的内容就可能有不同的结论。

3.命题真假性是不是确定的判别准则

一个命题ψ如果存在确定的集合A和公式σ(x)满足：ψ真当且仅当∀x∈A(σ(x))（或∃x∈A(σ(x))）真且对A中任何元素x，有可计算的算法判别σ(x)是真或假，则命题ψ的真假性是确定的。

更一般地说，一个命题ψ如果存在有限个Ai（i=1,2,…,n），Ai是确定的集合或是Aj的中的元素有关的集合（j＜i），及公式σ(x1,x2,…,xn)满足：ψ真当且仅当合适公式Qx1∈A1Qx2∈A2…Qxn∈An (σ(x1,x2,…,xn))(其中Q是∀或是∃)真且对Ai中任何元素xi（i=1,2,…,n），有可计算的算法判别σ(x1, x2,…,xn)是真或假，则命题ψ的真假性是确定的。

例1：如果命题ψ为哥德巴赫猜想。设A={x|x=2n∧n∈N∧n＞1}，S={p| p是质数}，ψ真当且仅当∀x∈A∃p1∈S∃p2∈S (x=p1+p2)真，且对A中任何x，S中任何p1,p2，x=p1+p2都有可计算的算法判别其是真或假，所以哥德巴赫猜想的真假性是确定的。

例2：如果命题ψ为三角形的内角之和等于二直角。因找不到满足条件的确定的集合A（A是欧氏空间的三角形还是非欧氏空间的三角形，从命题中无法判别确定），故三角形的内角之和等于二直角的真假性不是确定的。

要注意的是，由于满足条件的Qx1∈A1Qx2∈A2…Qxn∈An (σ(x1,x2,…,xn))真假性是确定的，所以满足要求的命题ψ的真假性也同样是确定的：1）真和假有且只有一个成立。2）真假确定后不会改变（只要不会改变命题ψ与对应的合适公式的关系，即使增加条件或“公理”后命题ψ也绝不会由真变假或由假变真）。由于人类能力有限，不可能对无穷个（包括非常多的有穷个）算法最终都能得出是真还是假，故我们有可能不能确切知道某命题ψ到底是真还是假（比如哥德巴赫猜想），但不能由此就得出命题ψ的真假性在一定条件下是可以变化的。

所以我们实际上要讨论的是：连续统假设是类似哥德巴赫猜想其真假性是确定的还是类似三角形的内角之和等于二直角其真假性不是确定的。

对于连续统假设命题，显然存在满足条件合适公式τ：∀X∈Z∃f∈F∀a∈X∀b∈X∃g∈G∀c∈R∀d∈R((a=b∨f(a)≠f(b))∨(c=d∨g(c)≠g(d)))

式中Z =P(R)，F={f|f:X→N}，G={g|g:R→X}，连续统假设真当且仅当τ真，且对于Z中任何元素X；X中任何元素a,b；R中任何元素c,d；F中任何元素f；G中任何元素g，都有可计算的算法判别(a=b∨f(a)≠f(b))∨(c=d∨g(c)≠g(d))是真或假，所以连续统假设的真假性是确定的。

综合上述，在承认无穷集合的实无穷观点，认可集合比较“大小”的康托尔 “一一对应”法则及上述命题真假性是不是确定的判别准则下，连续统假设的真假性必定是确定的（类似哥德巴赫猜想）。

最后再用另外方法说明连续统假设的真假性是确定的。假设其真假性不确定，不妨设在某些条件1下连续统假设是假的（存在集合R的子集X，其势满足|N|＜|X|＜|R|）；又在其它条件2下连续统假设是真的（对任何R的子集Y，若|N|＜|Y|，就能推出|Y|＝|R|）。那么我们就会得出：在条件1下，存在集合R的子集X ，满足|N|＜|X|且|X|≠|R|，而在条件2下，这个集合X又满足|X|＝|R|，矛盾（如果这些条件不会改变R和N的势）。