最密k生素数的间隔问题

白新岭

最密k生素数顾名思义，就是在某特定自然正数段内出现最多素数个数的k生素数群，例如像（5,7,11）这样的三个素数，出现在跨度为6的自然数段中，它就是最密的3生素数；当然，（7,11,13）也是最密3生素数，不过它与前例不是同一种最密3生素数。
再例如最密4生素数（11,13,17,19），它只有这一种形式，形成自对称的最密4生素数。
不在赘述最密k生素数（在一定跨度内出现素数个数最多的素数段为最密k生素数）。
现在回到主题上，最密k生素数的间隔，即两组最密k生素数的距离（或差值），现在我们拿最密4生素数来作为分析对象，对于像（11,13,17,19）的最密4生素数，我们如何用通式表达呢？如果按点序表示，第一位设为0（即起始位置），则可以把最密4生素数表示成点序（0,2,6,8），它们也是占位值，即以素数为模，对它们求余数，所得余数是不能出现的，只有没有出现的余数才符合条件，所以对于素数2来说，只有余数1可以出现；对于素数3，只有余数1可以出现；对于素数5来说，只有余数4可以出现；对于素数7，只有余数3，4，5可以出现；我们把点序的中项设为0，则点序表示为（-4，-2,2,4），相应可以出现余数为能出现余数-4后对素数求模；这样素数2对应1；素数3对应0；素数5对应0，素数7对应0,1,6；等等。
现在对可以出现的余数做二元减法求模运算，素数2的可以出现余数为1，相减求关于素数2的余数是0，这说明最密4生素数的差值能整除2，即为2的倍数；同样对素数3，素数5做相应运算，获得二元减法求余数运算结果为能整除3和整除5，所以最密4生素数的2组相减其差值为2,3,5的倍数，即为30n的整数。
现在对素数7可以出现余数做二元余数减法运算，获得结果是除模7余数3,4不出现外，其余余数都可以获得，有中国剩余定理可以获得30的整倍数除60和150的不能得到外，其余的都能获得，即最密4生素数2组相减只能得到相差为210n，210n+30,210n+90,210n+120,210n+180，这5类30整倍数的数，另外的210n+60和210n+150的30整倍数的数永远不会出现。
总结，两组最密4生素数之差，模210的余数不会是60和150，其余30的倍数都可以。

白新岭

上边的思路是把最密4生素数特征值全部加载在其中项上，有中项的合成结果来反映两组最密4生素数的差值。用到了二元运算。