特殊无理半径的球面参数化

葡萄糖

\[ \left(\dfrac{(u-v)^2-2(u+1)^2+3}{u^2+v^2+1}\right)^2+\left(\dfrac{(u-v)^2-2(v+1)^2+3}{u^2+v^2+1}\right)^2+\left(\dfrac{(u-v)^2+(u+v-1)^2-3}{u^2+v^2+1}\right)^2=6 \]
.
\begin{align*}
&\color{black}{\left(\dfrac{(u-v)^2-2(u+1)^2+3}{u^2+v^2+1}\right)^2}\\
&\color{black}{\qquad\qquad+\left(\dfrac{(u-v)^2-2(v+1)^2+3}{u^2+v^2+1}\right)^2}\\
&\color{black}{\qquad\qquad\qquad\qquad\,+\left(\dfrac{(u-v)^2+(u+v-1)^2-3}{u^2+v^2+1}\right)^2=6}
\end{align*}
.
这个参数化是怎么得到的呢？
其他以“简单无理数”半径的情形呢？

1. p = 91;
   
2. Select[PowersRepresentations[p^2*6, 3, 2], And @@ CoprimeQ[#, p] &]/p

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hujunhua

感觉“半径为`\sqrt n`的球面上的有理点”更切题。
关于球面上的有理点，还真没有搜到文献。

mathe

这个看上去和将整数表示为三个整数的平方问题相关，论坛中讨论过。结论很简单，证明很复杂

mathe

给出的是通解还是部分解？部分解我们已经有能力解决了，通解比较困难。
查看https://bbs.emath.ac.cn/thread-3063-1-1.html
我们知道所有$4^u(8v+7)$形式的n都不可以表示成三个整数平方和，稍微处理一下就可以知道也不能表示为三个有理数的平方和。
而对于所有其它形式的n,都可以表示为三个整数的平方和，链接里面给出了构造方法

mathe

发现有理数范围比整数范围更加容易。
由于我们知道$2^2+1^2+1^2=6$,也就是[2,1,1]是一个满足条件的解，
我们只要找到任何一个有理式3阶正定矩阵A,那么$[2,1,1]A$也满足方程
题目中给出的例子只含有两个参数，应该解不全。因为在任意一个平面上的正交矩阵就需要两个参数$u,v$，
而空间中的旋转我们需要更多的参数，比如可以通过x-y平面上一次正交变换加上y-z平面上一次正交变换

葡萄糖

mathe 发表于 2019-10-31 08:53
发现有理数范围比整数范围更加容易。
由于我们知道$2^2+1^2+1^2=6$,也就是[2,2,1]是一个满足条件的解，
我们只要找到任何一个有理系数3阶正定矩阵A,那么$[2,2,1]A$也满足方程
题目中给出的例子只含有两个参数，应该解不全。因为在任意一个平面上的正交矩阵就需要两个有理参数$u,v$，
而空间中的旋转我们需要更多的参数，比如可以通过x-y平面上一次正交变换加上y-z平面上一次正交变换

可是，观察到复变函数中黎曼球面的参数方程
\[ \left(\dfrac{2u}{u^2+v^2+1}\right)^2+\left(\dfrac{2v}{u^2+v^2+1}\right)^2+\left(\dfrac{u^2+v^2-1}{u^2+v^2+1}\right)^2=\large{1} \]
与这个有理参数化非常相似。（凭直觉）认为应该是全部有理数点。（我是这样考虑的，有可能是错的，如果错了希望指点一下，谢谢）
【MSE】
\[ \left(\dfrac{2\left(\alpha\delta+\beta\gamma\right)}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2}\right)^2+\left(\dfrac{2\left(\alpha\gamma-\beta\delta\right)}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2}\right)^2+\left(\dfrac{\alpha^2+\beta^2-\gamma^2-\delta^2}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2}\right)^2=\large{1} \]
https://math.stackexchange.com/q ... -d2/2089009#2089009

mathe

mathe 发表于 2019-10-31 08:53
发现有理数范围比整数范围更加容易。
由于我们知道$2^2+1^2+1^2=6$,也就是[2,1,1]是一个满足条件的解，
...

2阶有理式正定矩阵利用勾股数构造即可，比如
\(\begin{pmatrix} \frac{u^2-1}{u^2+1}&\frac{-2u}{u^2+1}\\\frac{2u}{u^2+1}&\frac{u^2-1}{u^2+1}\end{pmatrix}\)
于是构造三阶的可以通过两个上面二阶的相乘得到，比如
\(\D\begin{pmatrix} \frac{u^2-1}{u^2+1}&\frac{-2u}{u^2+1}&0\\\frac{2u}{u^2+1}&\frac{u^2-1}{u^2+1}&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&\frac{1-v^2}{1+v^2}&\frac{-2v}{1+v^2}\\0&\frac{2v}{1+v^2}&\frac{1-v^2}{1+v^2}\end{pmatrix}\)
`u,v`为两个有理数，可以代换成既约分数`u=a/b,v=c/d` 化成四个整数参数的齐次有理式形式。

hujunhua

mathe 发表于 2019-10-31 10:35
2阶有理式正定矩阵利用勾股数构造即可，比如
\(\begin{pmatrix} \frac{u^2-1}{u^2+1}&\frac{-2u}{u^2+1} ...

“u,v为两个有理数，可以代换成既约分数u=a/b,v=c/d 化成四个整数参数的齐次有理式形式”

1#和6# 也可以仿此化为3个整数参数的齐次有理式。

葡萄糖

\begin{cases}
a= 2 (\alpha +\gamma +\delta )^2-(\alpha -\beta +2 \delta )^2-3 (\gamma +\delta )^2+6 \delta ^2\\
b= (\alpha -\beta +2 \delta )^2-2 (\beta +\gamma -\delta )^2+3 (\gamma -\delta )^2-6 \delta ^2\\
c= (\alpha +\beta -\gamma )^2+(\alpha -\beta -\delta )^2-3 \gamma ^2-3 \delta ^2\\
d=\alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2 + \delta^2
\end{cases}

1. a^2 + b^2 +
   
2.    c^2 /. {a ->
   
3.     2 (\[Alpha] + \[Gamma] + \[Delta])^2 - (\[Alpha] - \[Beta] +
   
4.         2 \[Delta])^2 - 3 (\[Gamma] + \[Delta])^2 + 6 \[Delta]^2,
   
5.    b -> (\[Alpha] - \[Beta] + 2 \[Delta])^2 -
   
6.      2 (\[Beta] + \[Gamma] - \[Delta])^2 +
   
7.      3 (\[Gamma] - \[Delta])^2 - 6 \[Delta]^2,
   
8.    c -> (\[Alpha] + \[Beta] - \[Gamma])^2 + (\[Alpha] - \[Beta] - \
   
9. \[Delta])^2 - 3 \[Gamma]^2 - 3 \[Delta]^2} // Factor

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数学星空

类似问题讨论:
https://bbs.emath.ac.cn/thread-15614-1-1.html