一天内，时分秒三针形成的夹角为90°的情况有多少次？

chyanog

（1）时针分针秒针两两之间有三个夹角，构成的夹角为90°的情况有多少次？
（2）最小夹角大于 90° 的时间占一天中的多少？
假定时钟的指针是连续走的，不是一格一格跳的。第一个问题我算出来的是5748，别人的答案是5752。

风云剑

24*60*2 - 2 - 2 + 24*60*2 - 24*2 + 24*2 - 2 - 2 = 5752
这样？

markfang2050

风云剑 发表于 2019-11-14 17:25
24*60*2 - 2 - 2 + 24*60*2 - 24*2 + 24*2 - 2 - 2 = 5752
这样？

直接计算机模拟吧！

风云剑

markfang2050 发表于 2019-11-15 09:43
直接计算机模拟吧！

计算机模拟不好做，因为秒针是连续走的。
其实这题目不难分析，秒针走一圈会和时针形成两次90度，和分针形成两次90度，分针走一圈会和时针形成两次90度，但是容易重复计数，需要仔细分析，哪些时刻会重复。

markfang2050

风云剑 发表于 2019-11-15 10:58
计算机模拟不好做，因为秒针是连续走的。
其实这题目不难分析，秒针走一圈会和时针形成两次90度，和分针 ...

可以步长取很小

chyanog

设t时刻(t∈[0,24))，时针与分针、时针与秒针、分针与秒针的夹角分为为θ1、θ2、θ3，那么
\[\theta1(t)=\cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{11 \pi \ t}{6}\right)\right)=\pi- \left| \pi-\frac{11 \pi }{6}\ {\it mod} \left( t,{\frac{12}{11}} \right)  \right|  \]

\[\theta2(t)=\cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{719 \pi  \ t}{6}\right)\right)=\pi- \left| \pi-\frac{719 \pi }{6}  \ {\it mod} \left( t,{\frac{12}{719}} \right)  \right|\]

\[\theta3(t)=\cos ^{-1}(\cos (118 \pi  \ t)) =\pi- \left| \pi-118 \pi \ {\it mod} \left( t,{\frac{1}{59}} \right) \right|\]
然后用Mathematica解方程，可以发现3点和9点被重复计数了

最小夹角大于 90° 的时间占比

1. θ1[t_] := ArcCos[Cos[(11 π t)/6]];
   
2. θ2[t_] := ArcCos[Cos[(719 π t)/6]];
   
3. θ3[t_] := ArcCos[Cos[118 π t]];
   
4. 
   
5. sol = Solve[{θ1[t] == π/2 || θ2[t] == π/2 || θ3[t] == π/2,  0 <= t < 24}, t];
   
6. Length[sol]
   
7. Length[Union[sol]]
   
8. MaximalBy[Tally[sol], Last]
   
9. 
   
10. ineq = Reduce[{PiecewiseExpand[Min[θ1[t], θ2[t], θ3[t]] > π/2], 0 <= t < 12}, t]; // AbsoluteTiming
    
11. 1/12 Integrate[Boole[ineq], {t, 0, 12}]
    
12. N[%]

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王守恩

重合是关键。按12小时为单位来计算。
12小时内，分针与时针重合：12×1-1=11次，
12小时内，分针与秒针重合：12×59-1=708次，
12小时内，时针与秒针重合：12×60-1=719次，
三针重合不能算2次，要减 1 次，
合计 11 + 708 + 719 - 1=1437 次
重合 = 0°，即出现 180° 的次数也是 1437 次。
在每次 0° 后，会出现一次小于180°的夹角，
在每次 0° 前，会出现一次小于180°的夹角，
12小时内，出现小于180°夹角情况有1437×2 次。

$x$ 时 $y$ 分 $z$ 秒=\(\D\bigg(\frac{3600x+60y+z}{120}\bigg)^\circ\)

wayne

可以设在$x:y:z$时刻表示 $x$小时$y$分$z$秒.  $x$ 是$[0,23]$的正整数,$y$是$[0,59]$的正整数,$z$是正实数.   则对应的各个针走的角度[相对于零点]是 $\alpha = (x+y/60+z/3600)/{12} 2\pi,   \beta = (y+z/60)/{60}2\pi, \gamma = z/60*2\pi$

wayne

1. ans=Tally[Flatten[Outer[Solve[Abs[Subtract@@#1]==#2&&0<=x<12&&0<=y<60&&0<=z<60&&Element[x|y,Integers]]&,Subsets[{(x+y/60+z/3600)/12,(y+z/60)/60,z/60},{2}],{1,3}/4,1],2]];
   
2. {2Length[ans],Select[ans,#[[2]]>1&]}

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{5748, {{{x -> 3, y -> 0, z -> 0}, 2}, {{x -> 9, y -> 0, z -> 0}, 2}}}

算得答案是$ 5748$, 然后统计得到的是3点和9点,分别重复两次.

chyanog

wayne 发表于 2019-11-18 18:40
算得答案是$ 5748$, 然后统计得到的是3点和9点,分别重复两次.

按你的思路我也写了一个。如果要解不等式，用一个变量更方便点。

1. {θH,θM,θS}={2π/12 (h+m/60+s/3600), 2π/60 (m+s/60), 2π s/60};
   
2. sol=Solve[{AnyTrue[{θH-θM,θH-θS,θM-θS},Mod[#,π]==π/2&],0<=h<12,0<=m<60,0<=s<60,(h|m)∈Integers},{h,m,s}];
   
3. 2 Length[sol]
   
4. 
   
5. {θH,θM,θS}={1/12 (h+m/60+s/3600), 1/60 (m+s/60), 1/60 s};
   
6. sol=Solve[{Outer[Equal,{θH-θM,θH-θS,θM-θS},Range[-3/4,3/4,1/2]]/.List->Or,0<=h<12,0<=m<60,0<=s<60,(h|m)∈Integers},{h,m,s}];
   
7. 2 Length[sol]

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