可以求和吗？

王守恩

可以求和吗？
1/4+2/9+3/16+4/25+5/36+6/49+7/64+8/81+...+(n-1)/n^2=？

倪举鹏

不收敛

mathematica

这个问题太水了，通项与1/n的比值是1，
因为调和级数不收敛，所以这个不收敛，
可以求和，但是不收敛

王守恩

mathematica 发表于 2019-12-8 11:48
这个问题太水了，通项与1/n的比值是1，
因为调和级数不收敛，所以这个不收敛，
可以求和，但是不收敛

电脑还能出来答案吗？


\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{\bigg(\sqrt[5]{25^6}+\sqrt[5]{47^6}+\sqrt[5]{69^6}+...+\sqrt[5]{(22n+3)^6}\bigg)^5}{n^{11}}=2.2×10^6\)

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{\bigg(\sqrt[25]{201^{26}}+\sqrt[25]{405^{26}}+\sqrt[25]{609^{26}}+...+\sqrt[25]{(204n-3)^{26}}\bigg)^{25}}{n^{51}}=2.04×10^{52}\)

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{\bigg(\sqrt[125]{2020^{126}}+\sqrt[125]{4028^{126}}+\sqrt[125]{6036^{126}}+...+\sqrt[125]{(2008n+12)^{126}}\bigg)^{125}}{n^{251}}=2.008×10^{504}\)

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{\bigg(\sqrt[625]{20020^{626}}+\sqrt[625]{40036^{626}}+\sqrt[625]{60100^{626}}+...+\sqrt[625]{(20016n+4)^{626}}\bigg)^{625}}{n^{1251}}=2.0016×10^{5008}\)

\(\lim_{n\to\infty}\frac{\bigg(\sqrt[3125]{200034^{3126}}+\sqrt[3125]{400066^{3126}}+\sqrt[3125]{600130^{3126}}+...+\sqrt[3125]{(200032n+2)^{3126}}\bigg)^{3125}}{n^{6251}}=2.00032×10^{50016}\)

\(\lim_{n\to\infty}\frac{\bigg(\sqrt[15625]{2000068^{15626}}+\sqrt[15625]{4000132^{15626}}+\sqrt[15625]{6000260^{15626}}+...+\sqrt[15625]{(2000064n+4)^{15626}}\bigg)^{15625}}{n^{31251}}=2.000064×10^{500032}\)

王守恩

王守恩 发表于 2019-12-8 20:15
电脑还能出来答案吗？

求助。

   m=1,2,3,4,5,...     a=2,3,4,5,...

求证：\(\D\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\bigg(\frac{2k+m-2}{(2k+m-1)^a}-\frac{2k+m}{(2k+m+1)^a}\bigg)=\frac{m}{(m+1)^a}\)

王守恩

王守恩 发表于 2019-12-14 15:29
求助。

   m=1,2,3,4,5,...     a=2,3,4,5,...

两个求极限的公式。

     公式(一)：
     \(\D\lim_{n\to\infty}\frac{\bigg(\sum_{k=1}^n(m_{1}k^{A_{1}}+C_{1})^{A_{2}}\bigg)^{A_{3}}}{(m_{2}n^{B_{1}}+C_{2})^{B_{2}}}=\frac{m_{1}^{A_{2}*A_{3}}}{m_{2}^{B_{2}}}*\big(\frac{A_{3}}{B_{1}*B_{2}}\big)^{A_{3}}\)

     \(说明:A_{3}+A_{1}*A_{2}*A_{3}=B_{1}*B_{2}\ 是约束条件\)
     \(C_{1}是k的次数小于A_{1}的多项式,\ C_{2}是n的次数小于B_{1}的多项式\)
     \(m_{1},m_{2},A_{1},A_{2},A_{3},B_{1},B_{2}可以是任意数\)


     公式(二)：
     \(\D\lim_{n\to\infty}\frac{\bigg(\sum_{k=1}^n(\frac{m_{0}}{m_{1}k^{A_{1}}+C_{1}})^{A_{2}}\bigg)^{A_{3}}}{(m_{2}n^{B_{1}}+C_{2})^{B_{2}}}=\frac{(\frac{m_{0}}{m_{1}})^{A_{2}*A_{3}}}{m_{2}^{B_{2}}}*\big(\frac{A_{3}}{B_{1}*B_{2}}\big)^{A_{3}}\)

     \(说明:A_{3}-A_{1}*A_{2}*A_{3}=B_{1}*B_{2}\ 是约束条件\)
     \(C_{1}是k的次数小于A_{1}的多项式,\ C_{2}是n的次数小于B_{1}的多项式\)
     \(m_{0},m_{1},m_{2},A_{1},A_{2},A_{3},B_{1},B_{2}可以是任意数\)

王守恩

王守恩 发表于 2019-12-14 17:26
两个求极限的公式。

     公式(一)：

  6 楼求极限的 2 个公式可以合成 1 个。各位网友！能举出反例来吗？谢谢！

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{\big(\sum_{k=1}^n(m_1\ k^{A_1}+C_1)^{A_2}\big)^{A_3}}{(m_2\ n^{B_1}+C_2)^{B2}}=\frac{m_1^{A_2\ A_3}}{m_2^{B_2}}\ \bigg(\frac{A_3}{B_1\ B_2}\bigg)^{A_3}\)

说明:
     m1>0，m2≠0，0<B1*B2/A3=A1*A2+1 是约束条件
     C1 是 k 的次数小于 A1 的多项式, C2 是 n 的次数小于 B1 的多项式
     除此外， m1,m2,A1,A2,A3,B1,B2 可以是任意数