纪晓岚与和珅的心算逻辑题

毒酒滴冻鸭

据说纪晓岚与和珅除了在文学和政治上能力出众，也是心算和逻辑高手，基本上从不会计算或推理错误，而乾隆知道他们两人的能力，经常出题考他们，两人在乾隆的考核前也不敢做次，只能用尽全力把答案推算出来，否则就会如实宣称自己判断不出。

以下是其中四次这样的考核。各位看倌作为旁观者能根据两人的回应推算出乾隆心中的答案吗？

一、乾隆定了一个月中的两个日子，把日数之和告诉和珅，积告诉纪晓岚，要他们判断出是哪两个日子。
和：我不知日数，也不知你知否。
纪：我不知。
和：我仍不知。
纪：我已知！
和：我亦知！
问两日数为何？

二、乾隆昨晚梦见狗猫各若干，便把两数之和告诉和珅，积告诉纪晓岚，并告诉他们狗不只一头，猫有更多，要他们判断出两数。
和：臣断不出。
纪：臣亦不能。
和：臣已断出！
纪：臣亦断出！
问狗猫各多少？

三、这天乾隆跟妃嫔搓完麻将，心血来潮找来纪、和两人，自己摸了两张筒子牌，分别把两牌筒数之和告诉了和珅，积告诉了纪晓岚，要他们判断出来。
纪：臣断不出。
和：臣也断不出。
纪：臣还是断不出。
和：臣仍然断不出。
纪：臣继续断不出。
和：臣依旧断不出。
纪：臣始终断不出。
和：臣怎都断不出。
纪：臣终於断出来了！
问两张牌分别是啥？

四、隔天乾隆又召来纪、和两人，先分别在两人耳边各说一数，然后说：「朕昨晚夜读水浒，随意圈选了两位梁山好汉，现已把这俩好汉排名数之和告诉了和珅，积告诉了晓岚。他们是谁，你俩快判断出来吧！」
纪：臣断不出。
和：臣也断不出。
纪：臣还是断不出。
和：臣仍然断不出。
纪：臣继续断不出。
和：臣依旧断不出。
纪：臣始终断不出。
和：臣怎都断不出。
纪：臣终於断出来了！
问两位好汉分别是谁和谁？

注：此题为2015年7月18日本人在百度智力题贴吧发的，现在搬运过来。此为原帖地址：算术推理题四则。

毒酒滴冻鸭

第一题的答案是初一和十五。。。

和=16，所以和珅一开始估计老纪的积是15、28、39、48、55、60、63，其中只有39、55可以让老纪直接破解，所以第一句他说不知老纪能否秒题。

积=15，老纪一开始不能断定是1、15还是3、5，所以第二句老纪说不知。

这让和珅排除了39、55，但还剩下15、28、48、60、63，所以第三句和绅说我仍不知。

这时老纪想：如果日子是3、5，和珅一开始看到和=8，可能积是7、12、15，然后第一句他说了不知我能否秒题，这会让我排除了和=7、13的可能性，因为和=7的可能积是6、10、12，和=13的可能积是12、22、30、36、40、42，我都肯定不能秒题，这跟第一句矛盾。那么第二句我说了不知后，他能排除我直接秒出7=1*7和12=2*6 (我凭第一句足以排除1*12和3*4) ，这样他应该能立刻断定日子是3、5才对，这跟第三句矛盾了！

所以老纪立刻断定了正确答案：1、15。

最后，和珅推敲出28、48、60、63这四个积都不足以让老纪在第四句断定答案 (28=1*28=2*14、48=4*12=6*8、60=4*15=6*10、63=3*21=7*9)。剩下唯一的可能，就是15=1*15，所以第五句他也说自己知道答案了。

再来，就是证明答案的唯一性。。。这个留到最后再详述。。。

毒酒滴冻鸭

第二题的详解：

注意破解这道题的关键是一步步缩窄范围，最后找出唯一解，而不是茫无目的的瞎猜乱碰。。。

(一)、根据和珅第一句话，可知和大等於7 (否则可以直接判定5=2+3或6=2+4)。

(二)、根据纪晓岚第一句话，可知积可以分解成最少两对不同的复数相乘，而且这些对子之和全部都是7或以上。

(三)、根据和珅第二句话，可知这时和珅凭手上的和所推导出来的各种可能的两数之积里面，只有一个能满足(二)的条件。让咱们来作进一步分析：

1.首先最关键一点：假如和是13或以上，那在和珅看来两数有可能是(4、和-4)或(6、和-6)，那麼纪晓岚看到的积有可能是4*(和-4)=2*(2*和-8)或6*(和-6)=3*(2*和-12)，两者都符合条件(二)。所以我们能断定和必须是12或以下，即12、11、10、9、8、7这六个数其中一个。(没有做出这一步来的人都不算破解了这道题！)

2.再来看12：在和珅看来两数有可能是(2、10)或(4、8)，所以纪晓岚看到的积有可能是2*10=20=4*5或4*8=32=2*16，都符合条件(二)，所以12这个和不可能！

3.接着看11：在和珅看来两数有可能是(2、9)或(3、8)，所以纪晓岚看到的积有可能是2*9=18=3*6或3*8=24=4*6，都符合条件(二)，所以11这个和不可能！

4.最后看9：在和珅看来两数有可能是(3、6)或(4、5)，所以纪晓岚看到的积有可能是3*6=18=2*9或4*5=20=2*10，都符合条件(二)，所以9这个和不可能！

(四)、这样下来，和珅可能看到的和只剩下三个可能，就是7、8、10其中一个：

1.先看7：7=2+5=3+4，但是2*5=10不符合条件(二)，而3*4=12=2*6符合，所以这符合条件(三)，和珅能断出(3、4)这答案。

2.再看8：8=2+6=3+5，但是3*5=15不符合条件(二)，而2*6=12=3*4符合，所以这符合条件(三)，和珅能断出(2、6)这个答案。

3.最后看10：10=2+8=3+7=4+6，但是2*8=16和3*7=21不符合条件(二)，而4*6=24=3*8符合，所以这符合条件(三)，和珅能断出(4、6)这个答案。

(五)、最后的最后，根据纪晓岚第二句话，可知他这时能凭手上的积判定两数。而根据条件(四)他手上的积只可能是12=3*4=2*6又或24=4*6。但是如果他看到的积是12的话，他是绝不能判断出两数究竟是(3、4)还是(2、6)的，所以可知积肯定不是12，而必定是24。

於是，乾隆所梦到的两数就只剩下唯一一个可能，就是(4、6)！

毒酒滴冻鸭

第三题的详解：

这题比较容易的办法是用图表分析：

第一步：把1~9中任取两数（可以重复）之和、积结果列成以下两表：


第二步：统计一下不同的积的出现次数，再从多至少排列一下（用Excel一分钟搞定）：


第三步：发现出现超过一次的积只有九个（最小4，最大36），而也仅此九个积能让老纪说出第一句话，所以把能组成这九个积的两数组合全部列出来，再根据它们的和（从4到13不等）列成下表：


第四步：留意到4、12、13这三个和都只有一种两数组合，而这违反了和珅说的第一句话，所以可以把这三个和剔除。


第五步：留意到4这个积只剩下一种两数组合，而这违反了老纪说的第二句话，所以可以把这个积剔除。


第六步：留意到5这个和只剩下一种两数组合，而这违反了和珅说的第二句话，所以可以把这个和剔除。


第七步：留意到6这个积只剩下一种两数组合，而这违反了老纪说的第三句话，所以可以把这个积剔除。


第八步：留意到7这个和只剩下一种两数组合，而这违反了和珅说的第三句话，所以可以把这个和剔除。


第九步：留意到12这个积只剩下一种两数组合，而这违反了老纪说的第四句话，所以可以把这个积剔除。


第十步：留意到8这个和只剩下一种两数组合，而这违反了和珅说的第四句话，所以可以把这个和剔除。


最后，老纪第五句话终于说自己能确定两数，而此时能让他说出这句话的积只有16！

所以最后答案：那两张牌分别是二筒和八筒！

毒酒滴冻鸭

第四题的套路跟第三题基本一样，但是规模要大很多倍 (一开始积的可能范围从2到11556) ，人手做基本不现实，最好用点编程手段。。。

可以告诉你答案的两个数字是84和99，分别对应的梁山好汉是「病大虫」薛永、「石将军」石勇。。。

懂编程的不妨自己做一下，看看能否得出相同结果！

毒酒滴冻鸭

第一题的唯一性证明：

首先，列出1~30任选两数（不重复）的所有可能积（可能和的范围是3~59共57种）：


统计后得出291个不同的积，其中95个出现超过一次（数字范围6~800），196个只出现一次（数字范围2~870）。。。如果老纪听到的积是这196个之一，那么他立刻就可断定两数！


和珅第一句说了：「我不知日数，也不知你知否。」首先他听到的和不可能是3、4、58、59，否则他立刻就可断定两数！然后，根据他的和而有可能存在的积，不能全部都出现超过一次或全部都只出现一次，否则他就能断定老纪知否！所以和不可能是7、9、11、13、15、17（这些都可让和珅断定老纪不知道两数），也不可能是51~57（这些都可让和珅断定老纪知道两数），而必须是其余40个之一。


下图把这40个和里两种可能存在的积（左边的只有一种组合，右边的有多种组合）列出来，证明这些都是让和珅有可能说出第一句话：


于是，咱们总结出40种可能和、95种可能积。接下来就可以根据第三题的套路列成和积表然后逐步剔除：


根据老纪第一句话，可知此时他仍未能断定两数，所以他听到的积必产生自多种组合。故组合数量少于2的横行必须被剔除（以下用橙色标示，共十七横行）：


再根据和珅第二句话，可知此时他仍未能断定两数，所以他听到的和必产生自多种组合，故组合数量少于2的直列必须被剔除（以下用橙色标示，共五直列）：


最后，能让老纪说出第二句话的积只有一个，就是当积为15（两数为1、15）之时。其他积都能产生自多种两数组合，老纪不能断定两数：


最后的最后，和珅听到老纪说的第二句话，也知道了他听到的积不是28、48、60、63，而必须是15，即两数为1，15！