边长变化的正三角形扫过区域面积计算问题

markfang2050

正三角形边长为1cm，图中是由边长变化的顶点沿着大的正三角形边移动的正三角形边构成，求图中阴影面积=？
或者可以这样来描述：三个从大正三角形顶点出发的动点，等速且逆时针或顺时针沿着各自的一条边移动构成边长不断变化的正三角形，其边长扫过的区域构成阴影区域的面积=？
进阶：假如三点移动速度不等，构成的面积又如何计算？
图·1，2是等速移动；3是不等速移动。

1

2

3

mathe

边界是圆锥曲线，所以计算面积不难

chyanog

中间的曲面小三角的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{108}$
抛物线方程的求法：https://zh.wikipedia.org/zh-hans/包絡線
若曲线族以隐函数形式 F(x,y,s)=0 表示，其包络线的隐方程，便可以用下面两个方程消去s得出

\begin{cases} F(x,y,s)=0\\ \frac{\partial F(x,y,s)}{\partial s} =0\end{cases}

Mathematica代码

1. pts=Partition[{{-t/2,(√3(2-3 t))/6},{t-1/2,-√3/6},{(1-t)/2,(√3(3 t-1))/6}},2,1,1];
   
2. 
   
3. With[{L=Rest@RegionMember[InfiniteLine[#],{x,y}]},Eliminate[{L,D[L,t]},t]]& /@ pts
   
4. Integrate[Boole[And@@%/.Equal->Less],{x,-1,1},{y,-1,1}]
   
5. 
   
6. (* 画图 *)
   
7. Show[Graphics[{Dashed,Table[MapIndexed[{ColorData[97]@@#2,Line[#]}&,pts],{t,0,1,1/16}]}],
   
8.     ContourPlot[{3 x^2-6 √3 x y-6 x+9 y^2-2 √3 y-1==0, 3 x^2+6 √3 x y+6 x+9 y^2-2 √3 y-1==0, 12 x^2+4 √3 y-1==0},{x,-1/2,1/2},{y,-1/√3,1/√3}], Axes -> 1]

复制代码

补充内容 (2019-12-31 20:28):
pts=Partition[{t,1-t}.#&/@Partition[CirclePoints[3]/√3,2,1,1],2,1,1];
这样写更好

kastin

速度相同的话，包络线是典型的抛物线，只要给出直线簇的参数方程，就可确定包络线。速度不同的话，多了个速度比，但它是个固定比例系数在参数前面，所以相当于抛物线出现了旋转平移之类的变换。

markfang2050

With[{L = Rest@RegionMember[InfiniteLine[#], {x, y}]},
   Eliminate[{L, D[L, t]}, t]] & /@
Partition[{{-((\[Sqrt]3 t)/2),
    1 - (3 t)/2}, {1/
      2 \[Sqrt]3 (-1 + 2 t), -(1/2)}, {-(1/2) \[Sqrt]3 (-1 + t),
    1/2 (-1 + 3 t)}}, 2, 1, 1]
Integrate[Boole[And @@ % /. Equal -> Less], {x,-\[Sqrt]3/2, \[Sqrt]3/2}, {y, -1/2, 1}]

(*画图*)
Show[Graphics[{Dashed,
   Table[MapIndexed[{ColorData[97] @@ #2, Line[#]} &,
     Partition[{{-(\[Sqrt]3/2) t,
        1 - (3 t)/2}, {(\[Sqrt]3 (2 t - 1))/
         2, -(1/2)}, {-((\[Sqrt]3 (t - 1))/2), (3 t - 1)/2}}, 2, 1,
      1]], {t, 0, 1, 1/50}]}],
ContourPlot[{x^2 - 2 \[Sqrt]3 x y - 2 \[Sqrt]3 x + 3 y^2 - 2 y - 1 ==
     0, x^2 + 2 \[Sqrt]3 x y + 2 \[Sqrt]3 x + 3 y^2 - 2 y - 1 == 0,
   4 x^2 + 4 y - 1 == 0}, {x, -\[Sqrt]3/2, \[Sqrt]3/2}, {y, -1/2, 1}],
  Axes -> {True, True}]

chyanog

@markfang2050
pts=Partition[{{-t/2,(√3(2-3 t))/6},{t-1/2,-√3/6},{(1-t)/2,(√3(3 t-1))/6}},2,1,1];

mathe

从射影几何的角度就是两个一次点列的连线为二次线束，所以相切于圆锥曲线。
考虑到一个点沿着一条边的延长线移动到无穷远点，另一个点会沿着另外一条边的延长线上等比例趋向无穷远点，这两点连线会趋向固定方向跑向无穷远处，所以是抛物线，而这个方向和抛物线对称轴平行。特别的，在比例是一比一时，这个方向即两边的角平分线方向。