半径R的圆内均匀随机取一点，该点到圆心的距离的期望是多少？

markfang2050 · 发表于 2020-4-11 11:27:15

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kastin · 发表于 2020-4-11 14:24:05

你需要先定义这个问题中的“均匀随机”是按照什么样的标准，不同标准可能结果不同。比如，如果按照点在半径方向均匀分布（也就是取的点到圆心的距离是等概率分布的），那么期望就是R/2。详见贝特朗悖论。

倪举鹏 · 发表于 2020-4-16 00:19:07

三分之二

wayne · 发表于 2020-4-16 08:15:14

这题目是文字游戏. 要严谨描述,不然就是耍流氓. 我来一个事后诸葛.

半径R的圆内均匀随机取一点，该点到圆心的距离的期望是多少？

在某区域内均匀取点, 该区域是面积,所以概率得用面积比来表达, 离圆心距离为$x$的地方取到点的概率,用面积比即是 ${2\pi x dx}/{\pi R^2} $, 然后总体的期望值就是对所有的微元求和 . 得到$ \int_0^Rx*{2\pi x dx}/{\pi R^2}=2/3R$

wayne · 发表于 2020-4-16 12:46:27

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为啥期望值的计算是积分的概率密度,你给解释一下

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[原创] 半径R的圆内均匀随机取一点，该点到圆心的距离的期望是多少？