证明不等式

ACY中学

在看《不等式高级水平必备》这本书时遇到一个不等式, 书上没有证明过程，老师也没做出来，故在此求助, 多谢.

新人发贴, 如有不足多多指教.

wayne

这么多变量，第一反应就是可以拆开成两个独立的不等式，$x,y,z$一伙，$a,b,c$是一伙的，于是联想到 切比雪夫总和不等式。 https://mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html
证明：

有失一般性， 设$x>=y>=z, a<=b<=c $ ，于是得到 $x/{y+z} >= y/{z+x} >=z/{x+y}, b+c>=a+c>=a+b$, 套进前面提及的切比雪夫总和不等式，得到
\[\frac{x}{y+z}(b+c)+\frac{y}{z+x}(a+c)+\frac{z}{x+y}(a+b) \ge \frac{2}{3}(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})(a+b+c)  \]
然后 分别放缩， $x/{y+z}+y/{z+x}+z/{x+y}>=3/2$,   $(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ac)$ ，原题得证。
---
前面只是证明了$x>=y>=z, a<=b<=c $的情况，其实，根据排序不等式，顺序和 >= 乱序和 >= 逆序和 ， 只需要证明逆序和的最小值，未完待续。。。

。

wayne

中学数学老师 龚固给出了一个证明：

ACY中学

喔,我明白了.多谢!