求CD/AD的最小值，

mathematica

等边三角形ABC内部，有一动点D，角ADB=120°
求CD/AD的最小值。

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1. Clear["Global`*"];
   
2. (*假设等边三角形的边长是2*)
   
3. {xa,ya}={-1,0}
   
4. {xc,yc}={0,Sqrt[3]}
   
5. {xe,ye}={0,-1/Sqrt[3]}
   
6. Minimize[{((x-xc)^2+(y-yc)^2)/((x-xa)^2+(y-ya)^2),
   
7. (x-xe)^2+(y-ye)^2==4/3},{x,y}]
   

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求解结果
\[\left\{\frac{3}{4},\left\{x\to \frac{3}{7},y\to \frac{2 \sqrt{3}}{7}\right\}\right\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2020-5-24 10:13
求解结果
\[\left\{\frac{3}{4},\left\{x\to \frac{3}{7},y\to \frac{2 \sqrt{3}}{7}\right\}\right\}\]

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
3. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
4. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
5. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
6. (*等边三角形的边长是2*)
   
7. x=2;
   
8. ans=Minimize[{c/a,
   
9.     (*余弦定理，限制120度角ADB*)
   
10.     cs[a,b,x]==Cos[120*Degree]&&
    
11.     (*四面体的体积等于零*)
    
12.     fun[a,b,c,x,x,x]==0&&
    
13.     (*限制变量范围*)
    
14.     a>0&&b>0&&c>0
    
15. },{a,b,c}]//FullSimplify
    
16. (*将三边赋值*)
    
17. {a,b,c}={a,b,c}/.ans[[2]]
    
18. (*求解三个边对应的角度*)
    
19. aaa=ArcCos[cs[#1,#2,#3]]&@@@{{a,b,x},{b,c,x},{c,a,x}}
    
20. (*检查三个角相加是否等于360度,看点是否在三角形内部*)
    
21. bbb=Total[aaa]
    

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求解结果
\[\left\{\frac{\sqrt{3}}{2},\left\{a\to \frac{4}{\sqrt{7}},b\to \frac{2}{\sqrt{7}},c\to 2 \sqrt{\frac{3}{7}}\right\}\right\}\]

三个角的角度
\[\left\{\frac{2 \pi }{3},\frac{5 \pi }{6},\frac{\pi }{2}\right\}
\]
分别是120,150，90相加等于360°，在三角形内部

王守恩

把∠A(∠B)分成a与60-a，∠C分成b与60-b

已知：\(\D\frac{\sin(a)\sin(a)\sin(60^\circ-b)}{\sin(60^\circ-a)\sin(60^\circ-a)\sin(b)}=1\)

求：\(\D\frac{\sin(a)}{\sin(b)}\) 的最小值

mathematica

王守恩 发表于 2020-5-24 15:22
把∠A(∠B)分成a与60-a，∠C分成b与60-b

已知：\(\D\frac{\sin(a)\sin(a)\sin(60^\circ-b)}{\sin(60^\ci ...

这类问题在mathematica面前太小儿科了！

mathematica

我最大的感受是mathematica解方程组太厉害了！
基本上没有解不了的方程组！

mathematica

王守恩 发表于 2020-5-24 15:22
把∠A(∠B)分成a与60-a，∠C分成b与60-b

已知：\(\D\frac{\sin(a)\sin(a)\sin(60^\circ-b)}{\sin(60^\ci ...

这个问题可以通过旋转一边60度来得到很简单的回答，
拉格朗日乘子法太浪费了！