求证当OM⊥AB时，OM最短

许言

mathematica 发表于 2020-9-24 14:19
后四个值等于零，是多余的。前八个值，斜率是正负1，所以是垂直！

我是问证明哟，我之前用的纯代数，设点坐标，再通过勾股定理，利用二次函数最小值可以得出，不过过程繁琐，后面试了下基本不等式也行，都能证明出垂直最短，但是要写一面A4纸。太多了

许言

具有如下，，另外初中知识

许言

mathe 发表于 2020-9-25 08:03
根据三角形中线长度的计算方案，我们可以有
$2OM^2 +1/2 AB^2=OA^2+OB^2$
由于$AB$长度保持不变，所以等 ...

汗颜，竟然不知晓三角形中线计算方式，刚去推导了一下。

许言

mathe 发表于 2020-9-25 08:03
根据三角形中线长度的计算方案，我们可以有
$2OM^2 +1/2 AB^2=OA^2+OB^2$
由于$AB$长度保持不变，所以等 ...

用中线计算公式，，那这道题就简明了

许言

wayne 发表于 2020-9-25 10:54
双曲线$xy=k$的长度为定值$L$的弦长的中点的轨迹容易算出来，是$k x^2 + \frac{L^2}{4} x y - x^3 y + k y^ ...

容易算出，，，，我试过算出中点轨迹，窃以为不容易呀，麻烦详细说明一下

wayne

许言 发表于 2020-10-4 17:50
容易算出，，，，我试过算出中点轨迹，窃以为不容易呀，麻烦详细说明一下

设长度为$L$的弦的倾斜角是$\theta$,中点坐标是${x,y}$,那么根据中点得到两端点分别是$\{x+\frac{1}{2} L \cos (\theta),y+\frac{1}{2} L \sin (\theta)\},\{x-\frac{1}{2} L \cos (\theta),y-\frac{1}{2} L \sin (\theta)\}$,都在$xy=k$上,消去$\theta$,得到$x y \left(-L^2+4 x^2+4 y^2\right)=k \left(4 x^2+4 y^2\right)$